Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0digval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0digval 42159
Description: The 𝐾 th digit of a nonnegative real number 𝑅 in the positional system with base 𝐵. (Contributed by AV, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0digval ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘(𝑅 / (𝐵𝐾))) mod 𝐵))

Proof of Theorem nn0digval
StepHypRef Expression
1 nn0z 11385 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
2 digval 42157 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))
31, 2syl3an2 1358 . 2 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵))
4 nncn 11013 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
54anim1i 591 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0))
6 expneg 12851 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) = (1 / (𝐵𝐾)))
75, 6syl 17 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵↑-𝐾) = (1 / (𝐵𝐾)))
873adant3 1079 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵↑-𝐾) = (1 / (𝐵𝐾)))
98oveq1d 6650 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐵↑-𝐾) · 𝑅) = ((1 / (𝐵𝐾)) · 𝑅))
10 elrege0 12263 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅))
11 recn 10011 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ → 𝑅 ∈ ℂ)
1211adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑅) → 𝑅 ∈ ℂ)
1310, 12sylbi 207 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ (0[,)+∞) → 𝑅 ∈ ℂ)
14133ad2ant3 1082 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝑅 ∈ ℂ)
1553adant3 1079 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0))
16 expcl 12861 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐵𝐾) ∈ ℂ)
1715, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵𝐾) ∈ ℂ)
1843ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ∈ ℂ)
19 nnne0 11038 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
20193ad2ant1 1080 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐵 ≠ 0)
2113ad2ant2 1081 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → 𝐾 ∈ ℤ)
2218, 20, 21expne0d 12997 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐵𝐾) ≠ 0)
2314, 17, 22divrec2d 10790 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑅 / (𝐵𝐾)) = ((1 / (𝐵𝐾)) · 𝑅))
249, 23eqtr4d 2657 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐵↑-𝐾) · 𝑅) = (𝑅 / (𝐵𝐾)))
2524fveq2d 6182 . . 3 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) = (⌊‘(𝑅 / (𝐵𝐾))))
2625oveq1d 6650 . 2 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → ((⌊‘((𝐵↑-𝐾) · 𝑅)) mod 𝐵) = ((⌊‘(𝑅 / (𝐵𝐾))) mod 𝐵))
273, 26eqtrd 2654 1 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℕ0𝑅 ∈ (0[,)+∞)) → (𝐾(digit‘𝐵)𝑅) = ((⌊‘(𝑅 / (𝐵𝐾))) mod 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wne 2791   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   · cmul 9926  +∞cpnf 10056  cle 10060  -cneg 10252   / cdiv 10669  cn 11005  0cn0 11277  cz 11362  [,)cico 12162  cfl 12574   mod cmo 12651  cexp 12843  digitcdig 42154
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-ico 12166  df-seq 12785  df-exp 12844  df-dig 42155
This theorem is referenced by:  dignnld  42162  dig2nn1st  42164  digexp  42166  0dig2nn0e  42171  0dig2nn0o  42172  dig2bits  42173  dignn0ehalf  42176  dignn0flhalf  42177
  Copyright terms: Public domain W3C validator