Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0eo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0eo 42824
Description: A nonnegative integer is even or odd. (Contributed by AV, 27-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0eo (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem nn0eo
StepHypRef Expression
1 nn0z 11584 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
2 zeo 11647 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
4 simpr 479 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
5 nn0re 11485 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
6 nn0ge0 11502 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
7 2re 11274 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
87a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
9 2pos 11296 . . . . . . . 8 0 < 2
109a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < 2)
11 divge0 11076 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑁) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ (𝑁 / 2))
125, 6, 8, 10, 11syl22anc 1474 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 / 2))
1312adantr 472 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝑁 / 2))
14 elnn0z 11574 . . . . 5 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 / 2)))
154, 13, 14sylanbrc 701 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0)
1615ex 449 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℤ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ0))
17 simpr 479 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
18 peano2nn0 11517 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1918nn0red 11536 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
20 1red 10239 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
21 0le1 10735 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 1)
235, 20, 6, 22addge0d 10787 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
24 divge0 11076 . . . . . . 7 ((((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2))
2519, 23, 8, 10, 24syl22anc 1474 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2))
2625adantr 472 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2))
27 elnn0z 11574 . . . . 5 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2)))
2817, 26, 27sylanbrc 701 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
2928ex 449 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
3016, 29orim12d 919 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 / 2) ∈ ℤ ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)))
313, 30mpd 15 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ0 ∨ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 382  wa 383  wcel 2131   class class class wbr 4796  (class class class)co 6805  cr 10119  0cc0 10120  1c1 10121   + caddc 10123   < clt 10258  cle 10259   / cdiv 10868  2c2 11254  0cn0 11476  cz 11561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-n0 11477  df-z 11562
This theorem is referenced by:  flnn0div2ge  42829  dignn0flhalf  42914
  Copyright terms: Public domain W3C validator