MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0fz0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0fz0 12394
Description: A nonnegative integer is always part of the finite set of sequential nonnegative integers with this integer as upper bound. (Contributed by Scott Fenton, 21-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0fz0 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))

Proof of Theorem nn0fz0
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0re 11261 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
32leidd 10554 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁𝑁)
4 fznn0 12389 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁𝑁)))
51, 3, 4mpbir2and 956 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
6 elfz3nn0 12391 . 2 (𝑁 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
75, 6impbii 199 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wcel 1987   class class class wbr 4623  (class class class)co 6615  0cc0 9896  cle 10035  0cn0 11252  ...cfz 12284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-fz 12285
This theorem is referenced by:  swrdid  13382  swrdrlen  13389  swrd0len0  13390  swrd0swrdid  13418  wrdcctswrd  13419  swrdccatwrd  13422  swrdccatin12  13444  cshwlen  13498  cshwidxmod  13502  fallfacfac  14720  cayhamlem1  20611  cpmadugsumlemF  20621  wlkepvtx  26459  wlkp1lem7  26479  wlkp1lem8  26480  spthdep  26533  crctcshwlkn0lem6  26610  crctcsh  26619  wwlksnred  26690  wwlksnextproplem1  26707  clwlksfclwwlk1hash  26860  konigsbergiedgw  27008  konigsbergiedgwOLD  27009  konigsberglem1  27014  konigsberglem2  27015  konigsberglem3  27016  iwrdsplit  30272  fibp1  30286  poimirlem10  33090  poimirlem17  33097  poimirlem23  33103  poimirlem26  33106  poimirlem27  33107  iccpartiltu  40686  iccpartlt  40688  iccpartleu  40692  iccpartrn  40694  iccelpart  40697  iccpartiun  40698  iccpartdisj  40701  pfxlen0  40725  pfxccat1  40739  pfxpfxid  40745  pfxcctswrd  40746  pfxccatin12  40754  pfxccatid  40759
  Copyright terms: Public domain W3C validator