MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0gcdsq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0gcdsq 15682
Description: Squaring commutes with GCD, in particular two coprime numbers have coprime squares. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0gcdsq ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))

Proof of Theorem nn0gcdsq
StepHypRef Expression
1 elnn0 11506 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2 elnn0 11506 . 2 (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
3 sqgcd 15500 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
4 nncn 11240 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
5 abssq 14265 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℂ → ((abs‘𝐵)↑2) = (abs‘(𝐵↑2)))
64, 5syl 17 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → ((abs‘𝐵)↑2) = (abs‘(𝐵↑2)))
7 nnz 11611 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
8 gcd0id 15462 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → (0 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → (0 gcd 𝐵) = (abs‘𝐵))
109oveq1d 6829 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → ((0 gcd 𝐵)↑2) = ((abs‘𝐵)↑2))
11 sq0 13169 . . . . . . . . 9 (0↑2) = 0
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → (0↑2) = 0)
1312oveq1d 6829 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → ((0↑2) gcd (𝐵↑2)) = (0 gcd (𝐵↑2)))
14 zsqcl 13148 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵↑2) ∈ ℤ)
15 gcd0id 15462 . . . . . . . 8 ((𝐵↑2) ∈ ℤ → (0 gcd (𝐵↑2)) = (abs‘(𝐵↑2)))
167, 14, 153syl 18 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → (0 gcd (𝐵↑2)) = (abs‘(𝐵↑2)))
1713, 16eqtrd 2794 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → ((0↑2) gcd (𝐵↑2)) = (abs‘(𝐵↑2)))
186, 10, 173eqtr4d 2804 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → ((0 gcd 𝐵)↑2) = ((0↑2) gcd (𝐵↑2)))
1918adantl 473 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 gcd 𝐵)↑2) = ((0↑2) gcd (𝐵↑2)))
20 oveq1 6821 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝐴 gcd 𝐵) = (0 gcd 𝐵))
2120oveq1d 6829 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((0 gcd 𝐵)↑2))
22 oveq1 6821 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝐴↑2) = (0↑2))
2322oveq1d 6829 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = ((0↑2) gcd (𝐵↑2)))
2421, 23eqeq12d 2775 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) ↔ ((0 gcd 𝐵)↑2) = ((0↑2) gcd (𝐵↑2))))
2524adantr 472 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) ↔ ((0 gcd 𝐵)↑2) = ((0↑2) gcd (𝐵↑2))))
2619, 25mpbird 247 . . 3 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
27 nncn 11240 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
28 abssq 14265 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑2) = (abs‘(𝐴↑2)))
2927, 28syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((abs‘𝐴)↑2) = (abs‘(𝐴↑2)))
30 nnz 11611 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
31 gcdid0 15463 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 gcd 0) = (abs‘𝐴))
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 gcd 0) = (abs‘𝐴))
3332oveq1d 6829 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 gcd 0)↑2) = ((abs‘𝐴)↑2))
3411a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → (0↑2) = 0)
3534oveq2d 6830 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴↑2) gcd (0↑2)) = ((𝐴↑2) gcd 0))
36 zsqcl 13148 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
37 gcdid0 15463 . . . . . . . 8 ((𝐴↑2) ∈ ℤ → ((𝐴↑2) gcd 0) = (abs‘(𝐴↑2)))
3830, 36, 373syl 18 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴↑2) gcd 0) = (abs‘(𝐴↑2)))
3935, 38eqtrd 2794 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴↑2) gcd (0↑2)) = (abs‘(𝐴↑2)))
4029, 33, 393eqtr4d 2804 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 gcd 0)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (0↑2)))
4140adantr 472 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 gcd 0)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (0↑2)))
42 oveq2 6822 . . . . . . 7 (𝐵 = 0 → (𝐴 gcd 𝐵) = (𝐴 gcd 0))
4342oveq1d 6829 . . . . . 6 (𝐵 = 0 → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴 gcd 0)↑2))
44 oveq1 6821 . . . . . . 7 (𝐵 = 0 → (𝐵↑2) = (0↑2))
4544oveq2d 6830 . . . . . 6 (𝐵 = 0 → ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = ((𝐴↑2) gcd (0↑2)))
4643, 45eqeq12d 2775 . . . . 5 (𝐵 = 0 → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) ↔ ((𝐴 gcd 0)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (0↑2))))
4746adantl 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 = 0) → (((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) ↔ ((𝐴 gcd 0)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (0↑2))))
4841, 47mpbird 247 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
49 gcd0val 15441 . . . . . 6 (0 gcd 0) = 0
5049oveq1i 6824 . . . . 5 ((0 gcd 0)↑2) = (0↑2)
5111, 11oveq12i 6826 . . . . . 6 ((0↑2) gcd (0↑2)) = (0 gcd 0)
5251, 49eqtri 2782 . . . . 5 ((0↑2) gcd (0↑2)) = 0
5311, 50, 523eqtr4i 2792 . . . 4 ((0 gcd 0)↑2) = ((0↑2) gcd (0↑2))
54 oveq12 6823 . . . . 5 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 gcd 𝐵) = (0 gcd 0))
5554oveq1d 6829 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((0 gcd 0)↑2))
5622, 44oveqan12d 6833 . . . 4 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)) = ((0↑2) gcd (0↑2)))
5753, 55, 563eqtr4a 2820 . . 3 ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
583, 26, 48, 57ccase 1024 . 2 (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
591, 2, 58syl2anb 497 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → ((𝐴 gcd 𝐵)↑2) = ((𝐴↑2) gcd (𝐵↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148  cn 11232  2c2 11282  0cn0 11504  cz 11589  cexp 13074  abscabs 14193   gcd cgcd 15438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-dvds 15203  df-gcd 15439
This theorem is referenced by:  zgcdsq  15683
  Copyright terms: Public domain W3C validator