Theorem nn0ge0 11356

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11332	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 11087	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2657	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 537	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 207	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 10078	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 11339	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 10162	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 696	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 247	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  ℝcr 9973  0cc0 9974   < clt 10112   ≤ cle 10113  ℕcn 11058  ℕ₀cn0 11330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  11357  nn0ge0i  11358  nn0le0eq0  11359  nn0p1gt0  11360  0mnnnnn0  11363  nn0addge1  11377  nn0addge2  11378  nn0negleid  11383  nn0ge0d  11392  nn0ge0div  11484  xnn0ge0  12005  nn0pnfge0OLD  12006  xnn0xadd0  12115  nn0rp0  12317  xnn0xrge0  12363  0elfz  12475  fz0fzelfz0  12484  fz0fzdiffz0  12487  fzctr  12490  difelfzle  12491  fzoun  12544  nn0p1elfzo  12550  elfzodifsumelfzo  12573  fvinim0ffz  12627  subfzo0  12630  adddivflid  12659  modmuladdnn0  12754  addmodid  12758  modifeq2int  12772  modfzo0difsn  12782  bernneq  13030  bernneq3  13032  faclbnd  13117  faclbnd6  13126  facubnd  13127  bcval5  13145  hashneq0  13193  fi1uzind  13317  brfi1indALT  13320  ccat0  13394  ccat2s1fvw  13460  repswswrd  13577  rprisefaccl  14798  dvdseq  15083  evennn02n  15121  nn0ehalf  15142  nn0oddm1d2  15148  bitsinv1  15211  smuval2  15251  gcdn0gt0  15286  nn0gcdid0  15289  absmulgcd  15313  algcvgblem  15337  algcvga  15339  lcmgcdnn  15371  lcmfun  15405  lcmfass  15406  nonsq  15514  hashgcdlem  15540  odzdvds  15547  pcfaclem  15649  coe1sclmul  19700  coe1sclmul2  19702  prmirredlem  19889  prmirred  19891  fvmptnn04ifb  20704  mdegle0  23882  plypf1  24013  dgrlt  24067  fta1  24108  taylfval  24158  eldmgm  24793  basellem3  24854  bcmono  25047  lgsdinn0  25115  dchrisumlem1  25223  dchrisumlem2  25224  wwlksnextwrd  26860  wwlksnextfun  26861  wwlksnextinj  26862  wwlksnextproplem2  26873  wwlksnextproplem3  26874  nn0sqeq1  29641  xrsmulgzz  29806  hashf2  30274  hasheuni  30275  reprinfz1  30828  faclimlem1  31755  rrntotbnd  33765  pell14qrgt0  37740  pell1qrgaplem  37754  monotoddzzfi  37824  jm2.17a  37844  jm2.22  37879  rmxdiophlem  37899  wallispilem3  40602  stirlinglem7  40615  elfz2z  41650  fz0addge0  41654  elfzlble  41655  2ffzoeq  41663  iccpartigtl  41684  sqrtpwpw2p  41775  flsqrt  41833  nn0e  41933  nn0sumltlt  42453  nn0eo  42647  fllog2  42687  dignn0fr  42720  dignnld  42722  dig1  42727