MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0ge0 11911
Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0ge0 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0
StepHypRef Expression
1 elnn0 11888 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 nngt0 11657 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3 id 22 . . . . 5 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
43eqcomd 2827 . . . 4 (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
52, 4orim12i 902 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
61, 5sylbi 218 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7 0re 10632 . . 3 0 ∈ ℝ
8 nn0re 11895 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
9 leloe 10716 . . 3 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
107, 8, 9sylancr 587 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
116, 10mpbird 258 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5058  cr 10525  0cc0 10526   < clt 10664  cle 10665  cn 11627  0cn0 11886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887
This theorem is referenced by:  nn0nlt0  11912  nn0ge0i  11913  nn0le0eq0  11914  nn0p1gt0  11915  0mnnnnn0  11918  nn0addge1  11932  nn0addge2  11933  nn0negleid  11938  nn0ge0d  11947  nn0ge0div  12040  xnn0ge0  12518  xnn0xadd0  12630  nn0rp0  12833  xnn0xrge0  12881  0elfz  12994  fz0fzelfz0  13003  fz0fzdiffz0  13006  fzctr  13009  difelfzle  13010  fzoun  13064  nn0p1elfzo  13070  elfzodifsumelfzo  13093  fvinim0ffz  13146  subfzo0  13149  adddivflid  13178  modmuladdnn0  13273  addmodid  13277  modifeq2int  13291  modfzo0difsn  13301  nn0sq11  13487  bernneq  13580  bernneq3  13582  faclbnd  13640  faclbnd6  13649  facubnd  13650  bcval5  13668  hashneq0  13715  fi1uzind  13845  brfi1indALT  13848  ccat0  13919  ccat2s1fvw  13988  ccat2s1fvwOLD  13989  repswswrd  14136  nn0sqeq1  14626  rprisefaccl  15367  dvdseq  15654  evennn02n  15689  nn0ehalf  15719  nn0oddm1d2  15726  bitsinv1  15781  smuval2  15821  gcdn0gt0  15856  nn0gcdid0  15859  absmulgcd  15887  algcvgblem  15911  algcvga  15913  lcmgcdnn  15945  lcmfun  15979  lcmfass  15980  2mulprm  16027  nonsq  16089  hashgcdlem  16115  odzdvds  16122  pcfaclem  16224  coe1sclmul  20380  coe1sclmul2  20382  prmirredlem  20570  prmirred  20572  fvmptnn04ifb  21389  mdegle0  24600  plypf1  24731  dgrlt  24785  fta1  24826  taylfval  24876  logbgcd1irr  25299  eldmgm  25527  basellem3  25588  bcmono  25781  lgsdinn0  25849  2sq2  25937  2sqnn0  25942  2sqreulem1  25950  dchrisumlem1  25993  dchrisumlem2  25994  wwlksnextwrd  27603  wwlksnextfun  27604  wwlksnextinj  27605  wwlksnextproplem2  27617  wwlksnextproplem3  27618  wrdt2ind  30555  xrsmulgzz  30593  hashf2  31243  hasheuni  31244  reprinfz1  31793  0nn0m1nnn0  32249  faclimlem1  32873  rrntotbnd  34997  pell14qrgt0  39336  pell1qrgaplem  39350  monotoddzzfi  39419  jm2.17a  39437  jm2.22  39472  rmxdiophlem  39492  wallispilem3  42233  stirlinglem7  42246  elfz2z  43396  fz0addge0  43400  elfzlble  43401  2ffzoeq  43409  iccpartigtl  43430  sqrtpwpw2p  43547  flsqrt  43603  nn0e  43709  nn0sumltlt  44296  nn0eo  44486  fllog2  44526  dignn0fr  44559  dignnld  44561  dig1  44566
  Copyright terms: Public domain W3C validator