Theorem nn0ge0 11916

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem nn0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11893	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		nngt0 11662	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
4	3	eqcomd 2827	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → 0 = 𝑁)
5	2, 4	orim12i 905	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
6	1, 5	sylbi 219	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁))
7		0re 10637	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		nn0re 11900	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
9		leloe 10721	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
10	7, 8, 9	sylancr 589	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ (0 < 𝑁 ∨ 0 = 𝑁)))
11	6, 10	mpbird 259	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∨ wo 843   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  ℝcr 10530  0cc0 10531   < clt 10669   ≤ cle 10670  ℕcn 11632  ℕ₀cn0 11891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892

This theorem is referenced by:  nn0nlt0  11917  nn0ge0i  11918  nn0le0eq0  11919  nn0p1gt0  11920  0mnnnnn0  11923  nn0addge1  11937  nn0addge2  11938  nn0negleid  11943  nn0ge0d  11952  nn0ge0div  12045  xnn0ge0  12522  xnn0xadd0  12634  nn0rp0  12837  xnn0xrge0  12885  0elfz  12998  fz0fzelfz0  13007  fz0fzdiffz0  13010  fzctr  13013  difelfzle  13014  fzoun  13068  nn0p1elfzo  13074  elfzodifsumelfzo  13097  fvinim0ffz  13150  subfzo0  13153  adddivflid  13182  modmuladdnn0  13277  addmodid  13281  modifeq2int  13295  modfzo0difsn  13305  nn0sq11  13491  bernneq  13584  bernneq3  13586  faclbnd  13644  faclbnd6  13653  facubnd  13654  bcval5  13672  hashneq0  13719  fi1uzind  13849  brfi1indALT  13852  ccat0  13923  ccat2s1fvw  13992  ccat2s1fvwOLD  13993  repswswrd  14140  nn0sqeq1  14630  rprisefaccl  15371  dvdseq  15658  evennn02n  15693  nn0ehalf  15723  nn0oddm1d2  15730  bitsinv1  15785  smuval2  15825  gcdn0gt0  15860  nn0gcdid0  15863  absmulgcd  15891  algcvgblem  15915  algcvga  15917  lcmgcdnn  15949  lcmfun  15983  lcmfass  15984  2mulprm  16031  nonsq  16093  hashgcdlem  16119  odzdvds  16126  pcfaclem  16228  coe1sclmul  20444  coe1sclmul2  20446  prmirredlem  20634  prmirred  20636  fvmptnn04ifb  21453  mdegle0  24665  plypf1  24796  dgrlt  24850  fta1  24891  taylfval  24941  logbgcd1irr  25366  eldmgm  25593  basellem3  25654  bcmono  25847  lgsdinn0  25915  2sq2  26003  2sqnn0  26008  2sqreulem1  26016  dchrisumlem1  26059  dchrisumlem2  26060  wwlksnextwrd  27669  wwlksnextfun  27670  wwlksnextinj  27671  wwlksnextproplem2  27683  wwlksnextproplem3  27684  wrdt2ind  30622  xrsmulgzz  30660  hashf2  31338  hasheuni  31339  reprinfz1  31888  0nn0m1nnn0  32346  faclimlem1  32970  rrntotbnd  35108  pell14qrgt0  39449  pell1qrgaplem  39463  monotoddzzfi  39532  jm2.17a  39550  jm2.22  39585  rmxdiophlem  39605  wallispilem3  42346  stirlinglem7  42359  elfz2z  43509  fz0addge0  43513  elfzlble  43514  2ffzoeq  43522  iccpartigtl  43577  sqrtpwpw2p  43694  flsqrt  43750  nn0e  43856  nn0sumltlt  44392  nn0eo  44582  fllog2  44622  dignn0fr  44655  dignnld  44657  dig1  44662