MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ge0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0ge0d 11392
Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nn0red.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
nn0ge0d (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d
StepHypRef Expression
1 nn0red.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ0)
2 nn0ge0 11356 . 2 (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030   class class class wbr 4685  0cc0 9974  cle 10113  0cn0 11330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331
This theorem is referenced by:  flmulnn0  12668  zmodfz  12732  modaddmodlo  12774  modsumfzodifsn  12783  addmodlteq  12785  expmulnbnd  13036  facwordi  13116  faclbnd  13117  faclbnd4lem3  13122  faclbnd6  13126  facavg  13128  hashdom  13206  repswcshw  13604  climcnds  14627  geomulcvg  14651  mertenslem1  14660  eftabs  14850  efcllem  14852  efaddlem  14867  eftlub  14883  oexpneg  15116  divalg2  15175  bitsfzolem  15203  bitsmod  15205  sadcaddlem  15226  sadaddlem  15235  sadasslem  15239  sadeq  15241  smueqlem  15259  dfgcd2  15310  gcdmultiple  15316  gcdmultiplez  15317  dvdssqlem  15326  nn0seqcvgd  15330  mulgcddvds  15416  isprm5  15466  zsqrtelqelz  15513  phibndlem  15522  dfphi2  15526  pythagtriplem3  15570  pythagtriplem10  15572  pythagtriplem6  15573  pythagtriplem7  15574  pythagtriplem12  15578  pythagtriplem14  15580  iserodd  15587  pcge0  15613  pcprmpw2  15633  pcmptdvds  15645  fldivp1  15648  pcbc  15651  qexpz  15652  pockthlem  15656  pockthg  15657  prmreclem3  15669  mul4sqlem  15704  4sqlem12  15707  4sqlem14  15709  4sqlem16  15711  0ram  15771  ram0  15773  ramcl  15780  prmolefac  15797  2expltfac  15846  odmodnn0  18005  pgpfi  18066  ablfac1c  18516  psrbaglesupp  19416  psrbagcon  19419  psrlidm  19451  coe1tmmul2  19694  prmirred  19891  lebnumii  22812  mbfi1fseqlem1  23527  mbfi1fseqlem3  23529  mbfi1fseqlem4  23530  mbfi1fseqlem5  23531  itg2cnlem2  23574  fta1g  23972  coemulhi  24055  dgradd2  24069  dgrco  24076  aareccl  24126  aaliou3lem8  24145  radcnvlem1  24212  dvradcnv  24220  leibpilem1  24712  dmlogdmgm  24795  wilthlem1  24839  sgmmul  24971  chtublem  24981  fsumvma2  24984  chpchtsum  24989  perfectlem2  25000  bcmono  25047  bposlem5  25058  lgsval2lem  25077  lgsval4a  25089  lgsqrlem2  25117  gausslemma2dlem0c  25128  gausslemma2dlem0d  25129  lgseisenlem1  25145  lgseisenlem2  25146  lgsquadlem1  25150  2lgslem1a1  25159  2sqlem3  25190  2sqlem7  25194  2sqlem8  25196  2sqblem  25201  dchrisum0re  25247  pntrlog2bndlem4  25314  pntpbnd1a  25319  ostth2lem2  25368  ostth2lem3  25369  ostth2  25371  crctcshwlkn0lem4  26761  wwlksubclwwlk  27023  nnmulge  29643  nndiffz1  29676  2sqmod  29776  submateqlem1  30001  nexple  30199  oddpwdc  30544  eulerpartlems  30550  eulerpartlemgc  30552  eulerpartlemb  30558  fsum2dsub  30813  breprexplemc  30838  circlemeth  30846  tgoldbachgtde  30866  subfaclim  31296  cvmliftlem2  31394  cvmliftlem10  31402  snmlff  31437  dfgcd3  33300  poimirlem10  33549  poimirlem23  33562  poimirlem24  33563  itg2addnclem2  33592  rrnequiv  33764  irrapxlem2  37704  irrapxlem5  37707  pellexlem1  37710  pellexlem2  37711  pellexlem5  37714  pellexlem6  37715  pell14qrgt0  37740  pell1qrge1  37751  pellfundgt1  37764  rmspecnonsq  37789  rmspecfund  37791  rmspecpos  37798  rmxypos  37831  ltrmxnn0  37833  jm2.24  37847  acongeq  37867  jm2.22  37879  jm2.23  37880  jm2.27a  37889  jm2.27c  37891  nzprmdif  38835  bccbc  38861  binomcxplemnn0  38865  fsumnncl  40121  mccllem  40147  ioodvbdlimc1lem2  40465  ioodvbdlimc2lem  40467  dvnxpaek  40475  dvnmul  40476  dvnprodlem1  40479  stoweidlem24  40559  wallispilem4  40603  wallispilem5  40604  wallispi2lem1  40606  stirlinglem4  40612  stirlinglem5  40613  stirlinglem10  40618  stirlinglem15  40623  stirlingr  40625  fourierdlem48  40689  fourierdlem49  40690  fourierdlem92  40733  sqwvfoura  40763  elaa2lem  40768  etransclem19  40788  etransclem23  40792  etransclem27  40796  etransclem44  40813  rrndistlt  40828  oexpnegALTV  41913  perfectALTVlem2  41956  blennn  42694  dignn0ldlem  42721  dig2nn1st  42724  digexp  42726  dignn0flhalf  42737
  Copyright terms: Public domain W3C validator