Theorem nn0ge0d 11961

Description: A nonnegative integer is greater than or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nn0red.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
nn0ge0d	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem nn0ge0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0red.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ0)
2		nn0ge0 11925	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5069  0cc0 10540   ≤ cle 10679  ℕ₀cn0 11900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-n0 11901

This theorem is referenced by:  flmulnn0  13200  zmodfz  13264  modaddmodlo  13306  modsumfzodifsn  13315  addmodlteq  13317  expmulnbnd  13599  facwordi  13652  faclbnd  13653  faclbnd4lem3  13658  faclbnd6  13662  facavg  13664  hashdom  13743  climcnds  15209  geomulcvg  15235  mertenslem1  15243  eftabs  15432  efcllem  15434  efaddlem  15449  eftlub  15465  oexpneg  15697  divalg2  15759  bitsfzolem  15786  bitsmod  15788  sadcaddlem  15809  sadaddlem  15818  sadasslem  15822  sadeq  15824  smueqlem  15842  dfgcd2  15897  gcdmultipleOLD  15903  gcdmultiplezOLD  15904  dvdssqlem  15913  nn0seqcvgd  15917  mulgcddvds  16002  isprm5  16054  zsqrtelqelz  16101  phibndlem  16110  dfphi2  16114  pythagtriplem3  16158  pythagtriplem10  16160  pythagtriplem6  16161  pythagtriplem7  16162  pythagtriplem12  16166  pythagtriplem14  16168  iserodd  16175  pcge0  16201  pcprmpw2  16221  pcmptdvds  16233  fldivp1  16236  pcbc  16239  qexpz  16240  pockthlem  16244  pockthg  16245  prmreclem3  16257  mul4sqlem  16292  4sqlem12  16295  4sqlem14  16297  4sqlem16  16299  0ram  16359  ram0  16361  ramcl  16368  prmolefac  16385  2expltfac  16429  odmodnn0  18671  pgpfi  18733  ablfac1c  19196  psrbaglesupp  20151  psrbagcon  20154  psrlidm  20186  coe1tmmul2  20447  prmirred  20645  lebnumii  23573  mbfi1fseqlem1  24319  mbfi1fseqlem3  24321  mbfi1fseqlem4  24322  mbfi1fseqlem5  24323  itg2cnlem2  24366  fta1g  24764  coemulhi  24847  dgradd2  24861  dgrco  24868  aareccl  24918  aaliou3lem8  24937  radcnvlem1  25004  dvradcnv  25012  dmlogdmgm  25604  wilthlem1  25648  sgmmul  25780  chtublem  25790  fsumvma2  25793  chpchtsum  25798  perfectlem2  25809  bcmono  25856  bposlem5  25867  lgsval2lem  25886  lgsval4a  25898  lgsqrlem2  25926  gausslemma2dlem0c  25937  gausslemma2dlem0d  25938  lgseisenlem1  25954  lgseisenlem2  25955  lgsquadlem1  25959  2lgslem1a1  25968  2sqlem3  25999  2sqlem7  26003  2sqlem8  26005  2sqblem  26010  2sqmod  26015  2sqreunnlem1  26028  dchrisum0re  26092  pntrlog2bndlem4  26159  pntpbnd1a  26164  ostth2lem2  26213  ostth2lem3  26214  ostth2  26216  crctcshwlkn0lem4  27594  wwlksubclwwlk  27840  nnmulge  30477  nndiffz1  30512  pfxlsw2ccat  30630  wrdt2ind  30631  submateqlem1  31076  nexple  31272  oddpwdc  31616  eulerpartlems  31622  eulerpartlemgc  31624  eulerpartlemb  31630  fsum2dsub  31882  breprexplemc  31907  circlemeth  31915  tgoldbachgtde  31935  usgrgt2cycl  32381  subfaclim  32439  cvmliftlem2  32537  cvmliftlem10  32545  snmlff  32580  dfgcd3  34609  poimirlem10  34906  poimirlem23  34919  poimirlem24  34920  itg2addnclem2  34948  rrnequiv  35117  fltnlta  39281  irrapxlem2  39426  irrapxlem5  39429  pellexlem1  39432  pellexlem2  39433  pellexlem5  39436  pellexlem6  39437  pell14qrgt0  39462  pell1qrge1  39473  pellfundgt1  39486  rmspecnonsq  39510  rmspecfund  39512  rmspecpos  39519  rmxypos  39550  ltrmxnn0  39552  jm2.24  39566  acongeq  39586  jm2.22  39598  jm2.23  39599  jm2.27a  39608  jm2.27c  39610  nzprmdif  40657  bccbc  40683  binomcxplemnn0  40687  fsumnncl  41858  mccllem  41884  ioodvbdlimc1lem2  42223  ioodvbdlimc2lem  42225  dvnxpaek  42233  dvnmul  42234  dvnprodlem1  42237  stoweidlem24  42316  wallispilem4  42360  wallispilem5  42361  wallispi2lem1  42363  stirlinglem4  42369  stirlinglem5  42370  stirlinglem10  42375  stirlinglem15  42380  stirlingr  42382  fourierdlem48  42446  fourierdlem49  42447  fourierdlem92  42490  sqwvfoura  42520  elaa2lem  42525  etransclem19  42545  etransclem23  42549  etransclem27  42553  etransclem44  42570  rrndistlt  42582  oexpnegALTV  43849  perfectALTVlem2  43894  blennn  44642  dignn0ldlem  44669  dig2nn1st  44672  digexp  44674  dignn0flhalf  44685