Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0nepnf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0nepnf 40198
Description: No standard nonnegative integer equals positive infinity. (Contributed by AV, 10-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0nepnf (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ≠ +∞)

Proof of Theorem nn0nepnf
StepHypRef Expression
1 pnfnre 9938 . . . . 5 +∞ ∉ ℝ
21neli 2885 . . . 4 ¬ +∞ ∈ ℝ
3 nn0re 11151 . . . 4 (+∞ ∈ ℕ0 → +∞ ∈ ℝ)
42, 3mto 187 . . 3 ¬ +∞ ∈ ℕ0
5 eleq1 2676 . . 3 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ +∞ ∈ ℕ0))
64, 5mtbiri 316 . 2 (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℕ0)
76necon2ai 2811 1 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ≠ +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  cr 9792  +∞cpnf 9928  0cn0 11142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-pnf 9933  df-nn 10871  df-n0 11143
This theorem is referenced by:  nn0nepnfd  40200  xnn0n0n1ge2b  40208
  Copyright terms: Public domain W3C validator