MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0oddm1d2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0oddm1d2 15724
Description: A positive integer is odd iff its predecessor divided by 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 10-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
nn0oddm1d2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem nn0oddm1d2
StepHypRef Expression
1 nn0z 11993 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
2 oddp1d2 15695 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
31, 2syl 17 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ))
4 peano2nn0 11925 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
54nn0red 11944 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6 2rp 12382 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
8 nn0re 11894 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
9 1red 10630 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
10 nn0ge0 11910 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
11 0le1 11151 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 1)
138, 9, 10, 12addge0d 11204 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝑁 + 1))
145, 7, 13divge0d 12459 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2))
1514anim1ci 615 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2)))
16 elnn0z 11982 . . . . 5 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 + 1) / 2)))
1715, 16sylibr 235 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
1817ex 413 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
19 nn0z 11993 . . 3 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
2018, 19impbid1 226 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
21 nn0ob 15723 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
223, 20, 213bitrd 306 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  +crp 12377  cdvds 15595
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-dvds 15596
This theorem is referenced by:  leibpilem1  25445  gausslemma2dlem6  25875
  Copyright terms: Public domain W3C validator