MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0opthi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0opthi 13097
Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. We can represent an ordered pair of nonnegative integers 𝐴 and 𝐵 by (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵). If two such ordered pairs are equal, their first elements are equal and their second elements are equal. Contrast this ordered pair representation with the standard one df-op 4217 that works for any set. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Sep-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opth.1 𝐴 ∈ ℕ0
nn0opth.2 𝐵 ∈ ℕ0
nn0opth.3 𝐶 ∈ ℕ0
nn0opth.4 𝐷 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
nn0opthi ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem nn0opthi
StepHypRef Expression
1 nn0opth.1 . . . . . . . . . 10 𝐴 ∈ ℕ0
2 nn0opth.2 . . . . . . . . . 10 𝐵 ∈ ℕ0
31, 2nn0addcli 11368 . . . . . . . . 9 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0
43nn0rei 11341 . . . . . . . 8 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ
5 nn0opth.3 . . . . . . . . . 10 𝐶 ∈ ℕ0
6 nn0opth.4 . . . . . . . . . 10 𝐷 ∈ ℕ0
75, 6nn0addcli 11368 . . . . . . . . 9 (𝐶 + 𝐷) ∈ ℕ0
87nn0rei 11341 . . . . . . . 8 (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ
94, 8lttri2i 10189 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝐵) ≠ (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ∨ (𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵)))
101, 2, 7, 6nn0opthlem2 13096 . . . . . . . . 9 ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
1110necomd 2878 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
125, 6, 3, 2nn0opthlem2 13096 . . . . . . . 8 ((𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
1311, 12jaoi 393 . . . . . . 7 (((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ∨ (𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
149, 13sylbi 207 . . . . . 6 ((𝐴 + 𝐵) ≠ (𝐶 + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
1514necon4i 2858 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
16 id 22 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
1715, 15oveq12d 6708 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)))
1817oveq1d 6705 . . . . . . . 8 ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
1916, 18eqtr4d 2688 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷))
203nn0cni 11342 . . . . . . . . 9 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
2120, 20mulcli 10083 . . . . . . . 8 ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ
222nn0cni 11342 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℂ
236nn0cni 11342 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ ℂ
2421, 22, 23addcani 10267 . . . . . . 7 ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷) ↔ 𝐵 = 𝐷)
2519, 24sylib 208 . . . . . 6 ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → 𝐵 = 𝐷)
2625oveq2d 6706 . . . . 5 ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
2715, 26eqtr4d 2688 . . . 4 ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐵))
281nn0cni 11342 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
295nn0cni 11342 . . . . 5 𝐶 ∈ ℂ
3028, 29, 22addcan2i 10268 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐶)
3127, 30sylib 208 . . 3 ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → 𝐴 = 𝐶)
3231, 25jca 553 . 2 ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
33 oveq12 6699 . . . 4 ((𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
3433, 33oveq12d 6708 . . 3 ((𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)))
35 simpr 476 . . 3 ((𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷) → 𝐵 = 𝐷)
3634, 35oveq12d 6708 . 2 ((𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
3732, 36impbii 199 1 ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶𝐵 = 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  0cn0 11330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-seq 12842  df-exp 12901
This theorem is referenced by:  nn0opth2i  13098
  Copyright terms: Public domain W3C validator