MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0opthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0opthlem2 12996
Description: Lemma for nn0opthi 12997. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Revised by Scott Fenton, 8-Sep-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opth.1 𝐴 ∈ ℕ0
nn0opth.2 𝐵 ∈ ℕ0
nn0opth.3 𝐶 ∈ ℕ0
nn0opth.4 𝐷 ∈ ℕ0
Assertion
Ref Expression
nn0opthlem2 ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))

Proof of Theorem nn0opthlem2
StepHypRef Expression
1 nn0opth.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
2 nn0opth.2 . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
31, 2nn0addcli 11274 . . . 4 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0
4 nn0opth.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℕ0
53, 4nn0opthlem1 12995 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶))
62nn0rei 11247 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
76, 1nn0addge2i 11286 . . . . 5 𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵)
83, 2nn0lele2xi 11292 . . . . . 6 (𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵) → 𝐵 ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)))
9 2re 11034 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
103nn0rei 11247 . . . . . . . 8 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ
119, 10remulcli 9998 . . . . . . 7 (2 · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ
1210, 10remulcli 9998 . . . . . . 7 ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℝ
136, 11, 12leadd2i 10528 . . . . . 6 (𝐵 ≤ (2 · (𝐴 + 𝐵)) ↔ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
148, 13sylib 208 . . . . 5 (𝐵 ≤ (𝐴 + 𝐵) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))))
157, 14ax-mp 5 . . . 4 (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵)))
1612, 6readdcli 9997 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ∈ ℝ
1712, 11readdcli 9997 . . . . 5 (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∈ ℝ
184nn0rei 11247 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℝ
1918, 18remulcli 9998 . . . . 5 (𝐶 · 𝐶) ∈ ℝ
2016, 17, 19lelttri 10108 . . . 4 (((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≤ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) ∧ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
2115, 20mpan 705 . . 3 ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + (2 · (𝐴 + 𝐵))) < (𝐶 · 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
225, 21sylbi 207 . 2 ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶))
23 nn0opth.4 . . . 4 𝐷 ∈ ℕ0
2419, 23nn0addge1i 11285 . . 3 (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷)
2523nn0rei 11247 . . . . 5 𝐷 ∈ ℝ
2619, 25readdcli 9997 . . . 4 ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ∈ ℝ
2716, 19, 26ltletri 10109 . . 3 (((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶) ∧ (𝐶 · 𝐶) ≤ ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
2824, 27mpan2 706 . 2 ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < (𝐶 · 𝐶) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷))
2916, 26ltnei 10105 . 2 ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) < ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
3022, 28, 293syl 18 1 ((𝐴 + 𝐵) < 𝐶 → ((𝐶 · 𝐶) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604   + caddc 9883   · cmul 9885   < clt 10018  cle 10019  2c2 11014  0cn0 11236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-seq 12742  df-exp 12801
This theorem is referenced by:  nn0opthi  12997
  Copyright terms: Public domain W3C validator