MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0p1elfzo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0p1elfzo 12329
Description: A nonnegative integer increased by 1 which is less than or equal to another integer is an element of a half-open range of integers. (Contributed by AV, 27-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
nn0p1elfzo ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))

Proof of Theorem nn0p1elfzo
StepHypRef Expression
1 nn0ltp1le 11264 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁))
21biimp3ar 1424 . . 3 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
3 simpl1 1056 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 ∈ ℕ0)
4 simpr 475 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
54adantr 479 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 nn0ge0 11161 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐾)
76adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝐾)
8 0re 9892 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
9 nn0re 11144 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
10 nn0re 11144 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
11 lelttr 9975 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
128, 9, 10, 11mp3an3an 1421 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁))
137, 12mpand 706 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑁 → 0 < 𝑁))
1413imp 443 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 0 < 𝑁)
15 elnnnn0b 11180 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑁))
165, 14, 15sylanbrc 694 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
17163adantl3 1211 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
18 simpr 475 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
193, 17, 183jca 1234 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
202, 19mpdan 698 . 2 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
21 elfzo0 12327 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑁))
2220, 21sylibr 222 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝐾 + 1) ≤ 𝑁) → 𝐾 ∈ (0..^𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030  wcel 1975   class class class wbr 4573  (class class class)co 6523  cr 9787  0cc0 9788  1c1 9789   + caddc 9791   < clt 9926  cle 9927  cn 10863  0cn0 11135  ..^cfzo 12285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-fzo 12286
This theorem is referenced by:  eupth2lem3  41402
  Copyright terms: Public domain W3C validator