MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0p1nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0p1nn 11182
Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 10882. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0p1nn (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn
StepHypRef Expression
1 1nn 10881 . 2 1 ∈ ℕ
2 nn0nnaddcl 11174 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
31, 2mpan2 702 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  (class class class)co 6527  1c1 9794   + caddc 9796  cn 10870  0cn0 11142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-ltxr 9936  df-nn 10871  df-n0 11143
This theorem is referenced by:  elnn0nn  11185  elz2  11230  peano5uzi  11301  fseq1p1m1  12241  fzonn0p1  12369  nn0ennn  12598  expnbnd  12813  faccl  12890  facdiv  12894  facwordi  12896  faclbnd  12897  facubnd  12907  bcm1k  12922  bcp1n  12923  bcp1nk  12924  bcpasc  12928  hashf1  13053  fz1isolem  13057  wrdind  13277  wrd2ind  13278  ccats1swrdeqbi  13298  isercoll  14195  isercoll2  14196  iseralt  14212  bcxmas  14355  climcndslem1  14369  fprodser  14467  fallfacval4  14562  bpolycl  14571  bpolysum  14572  bpolydiflem  14573  fsumkthpow  14575  efcllem  14596  ruclem7  14753  ruclem8  14754  ruclem9  14755  sadcp1  14964  smupp1  14989  prmfac1  15218  iserodd  15327  pcfac  15390  1arith  15418  4sqlem12  15447  vdwlem11  15482  vdwlem12  15483  vdwlem13  15484  ramub1  15519  ramcl  15520  prmop1  15529  sylow1lem1  17785  efgsrel  17919  efgsp1  17922  lebnumii  22521  lmnn  22814  vitalilem4  23131  plyco  23746  dgrcolem2  23779  dgrco  23780  advlogexp  24146  cxpmul2  24180  atantayl3  24411  leibpilem2  24413  leibpi  24414  leibpisum  24415  log2cnv  24416  log2tlbnd  24417  log2ublem2  24419  log2ub  24421  birthdaylem2  24424  harmoniclbnd  24480  harmonicbnd4  24482  fsumharmonic  24483  facgam  24537  chpp1  24626  chtublem  24681  bcmono  24747  bcp1ctr  24749  gausslemma2dlem3  24838  2lgslem1a  24861  chtppilimlem1  24907  rplogsumlem2  24919  rpvmasumlem  24921  dchrisumlema  24922  dchrisumlem1  24923  dchrisum0flblem1  24942  dchrisum0lem1b  24949  dchrisum0lem1  24950  dchrisum0lem3  24953  selberg2lem  24984  pntrsumo1  24999  pntrlog2bndlem2  25012  pntrlog2bndlem4  25014  pntrlog2bndlem6a  25016  pntpbnd1  25020  pntpbnd2  25021  pntlemg  25032  pntlemj  25037  pntlemf  25039  qabvle  25059  ostth2lem2  25068  wwlknred  26045  wwlknredwwlkn  26048  wwlknredwwlkn0  26049  eupath2lem3  26300  minvecolem3  26950  minvecolem4  26954  archiabllem1a  28910  lmatfvlem  29043  signshnz  29828  subfacval2  30257  erdsze2lem2  30274  cvmliftlem7  30361  faclimlem1  30716  faclimlem2  30717  faclimlem3  30718  faclim  30719  faclim2  30721  poimirlem3  32406  poimirlem4  32407  poimirlem12  32415  poimirlem15  32418  poimirlem16  32419  poimirlem17  32420  poimirlem19  32422  poimirlem20  32423  poimirlem23  32426  poimirlem24  32427  poimirlem25  32428  poimirlem28  32431  poimirlem29  32432  poimirlem31  32434  heiborlem4  32607  heiborlem6  32609  diophin  36178  rexrabdioph  36200  2rexfrabdioph  36202  3rexfrabdioph  36203  4rexfrabdioph  36204  6rexfrabdioph  36205  7rexfrabdioph  36206  elnn0rabdioph  36209  dvdsrabdioph  36216  irrapxlem4  36231  irrapxlem5  36232  2nn0ind  36352  jm2.27a  36414  itgpowd  36643  bccp1k  37386  binomcxplemrat  37395  binomcxplemfrat  37396  recnnltrp  38358  rpgtrecnn  38362  wallispilem3  38784  stirlinglem5  38795  vonioolem1  39395  ccats1pfxeqrex  40110  ccats1pfxeqbi  40119  wlkOnwlk1l  40893  wwlksnred  41120  wwlksnredwwlkn  41123  wwlksnredwwlkn0  41124  wwlksnwwlksnon  41143  fllog2  42182  blennnelnn  42190  dignn0flhalflem2  42230
  Copyright terms: Public domain W3C validator