Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0prpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0prpw 31291
Description: Two nonnegative integers are the same if and only if they are divisible by the same prime powers. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
nn0prpw ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝐴   𝐵,𝑛,𝑝

Proof of Theorem nn0prpw
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4578 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
21a1d 25 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
32ralrimivv 2949 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
4 elnn0 11138 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
5 elnn0 11138 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
6 nnre 10871 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
7 nnre 10871 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
8 lttri2 9968 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
96, 7, 8syl2an 492 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
109ancoms 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
11 nn0prpwlem 31290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
12 breq1 4577 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝐴 → (𝑘 < 𝐵𝐴 < 𝐵))
13 breq2 4578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝐴 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴))
1413bibi1d 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝐴 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
1514notbid 306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝐴 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
16152rexbidv 3035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝐴 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
1712, 16imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝐴 → ((𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)) ↔ (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))))
1817rspcv 3274 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))))
1911, 18mpan9 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
20 nn0prpwlem 31290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
21 breq1 4577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝐵 → (𝑘 < 𝐴𝐵 < 𝐴))
22 breq2 4578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝐵 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
2322bibi1d 331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝐵 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
24 bicom 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑝𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
2523, 24syl6bb 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝐵 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
2625notbid 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝐵 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
27262rexbidv 3035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝐵 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
2821, 27imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝐵 → ((𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)) ↔ (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))))
2928rspcv 3274 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))))
3020, 29syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))))
3130impcom 444 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
3219, 31jaod 393 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
3310, 32sylbid 228 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
34 df-ne 2778 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
35 rexnal2 3021 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
3633, 34, 353imtr3g 282 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
3736con4d 112 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
3837ex 448 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
39 prmunb 15399 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
40 1nn 10875 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ
41 prmz 15170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
42 1nn0 11152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℕ0
43 zexpcl 12689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑝↑1) ∈ ℤ)
4441, 42, 43sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∈ ℤ)
45 dvdsle 14813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑝↑1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → (𝑝↑1) ≤ 𝐴))
4644, 45sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → (𝑝↑1) ≤ 𝐴))
47 prmnn 15169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
48 nnre 10871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℝ)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
50 reexpcl 12691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑝↑1) ∈ ℝ)
5149, 42, 50sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∈ ℝ)
52 lenlt 9964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑝↑1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝑝↑1)))
5351, 6, 52syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝑝↑1)))
5447nncnd 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℂ)
5554exp1d 12817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) = 𝑝)
5655adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝↑1) = 𝑝)
5756breq2d 4586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < (𝑝↑1) ↔ 𝐴 < 𝑝))
5857notbid 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ 𝐴 < (𝑝↑1) ↔ ¬ 𝐴 < 𝑝))
5953, 58bitrd 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑝))
6046, 59sylibd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑝))
6160ancoms 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑝))
6261con2d 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 < 𝑝 → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
63623impia 1252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐴)
64 dvds0 14778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝↑1) ∈ ℤ → (𝑝↑1) ∥ 0)
6544, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∥ 0)
66653ad2ant2 1075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → (𝑝↑1) ∥ 0)
67 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → (((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴) → ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴)))
6866, 67mpid 42 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → (((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴) → (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
6963, 68mtod 187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
70 biimpr 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0) → ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
7169, 70nsyl 133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0))
72 oveq2 6532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 1 → (𝑝𝑛) = (𝑝↑1))
7372breq1d 4584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 1 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
7472breq1d 4584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 1 → ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0))
7573, 74bibi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 1 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0) ↔ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)))
7675notbid 306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 1 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0) ↔ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)))
7776rspcev 3278 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
7840, 71, 77sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
79783expia 1258 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 < 𝑝 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0)))
8079reximdva 2996 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0)))
8139, 80mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
82 rexnal2 3021 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
8381, 82sylib 206 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
8483pm2.21d 116 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0) → 𝐴 = 0))
85 breq2 4578 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = 0 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
8685bibi2d 330 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 0 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0)))
87862ralbidv 2968 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = 0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0)))
88 eqeq2 2617 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = 0 → (𝐴 = 𝐵𝐴 = 0))
8987, 88imbi12d 332 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 0 → ((∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0) → 𝐴 = 0)))
9084, 89syl5ibr 234 . . . . . . . 8 (𝐵 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
9138, 90jaoi 392 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0) → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
925, 91sylbi 205 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
9392com12 32 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
94 orcom 400 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0) ↔ (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℕ))
95 df-or 383 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℕ) ↔ (¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℕ))
965, 94, 953bitri 284 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℕ))
97 prmunb 15399 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐵 < 𝑝)
98 dvdsle 14813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑝↑1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → (𝑝↑1) ≤ 𝐵))
9944, 98sylan 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → (𝑝↑1) ≤ 𝐵))
100 lenlt 9964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑝↑1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑝↑1)))
10151, 7, 100syl2an 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑝↑1)))
10255adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑝↑1) = 𝑝)
103102breq2d 4586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 < (𝑝↑1) ↔ 𝐵 < 𝑝))
104103notbid 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 𝐵 < (𝑝↑1) ↔ ¬ 𝐵 < 𝑝))
105101, 104bitrd 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑝))
10699, 105sylibd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝑝))
107106ancoms 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝑝))
108107con2d 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 < 𝑝 → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
1091083impia 1252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)
110653ad2ant2 1075 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → (𝑝↑1) ∥ 0)
111 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → (((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵) → ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵)))
112110, 111mpid 42 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → (((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵) → (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
113109, 112mtod 187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
114 biimp 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵) → ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
115113, 114nsyl 133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
11672breq1d 4584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 1 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
11774, 116bibi12d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 1 → (((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)))
118117notbid 306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 1 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)))
119118rspcev 3278 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
12040, 115, 119sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
1211203expia 1258 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 < 𝑝 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
122121reximdva 2996 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐵 < 𝑝 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
12397, 122mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
124 rexnal2 3021 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
125123, 124sylib 206 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
126125imim2i 16 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 𝐵 = 0 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
12796, 126sylbi 205 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐵 = 0 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
128127con4d 112 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐵 = 0))
129 eqcom 2613 . . . . . . 7 (𝐵 = 0 ↔ 0 = 𝐵)
130128, 129syl6ib 239 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 0 = 𝐵))
131 breq2 4578 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
132131bibi1d 331 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
1331322ralbidv 2968 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
134 eqeq1 2610 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 0 = 𝐵))
135133, 134imbi12d 332 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → ((∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 0 = 𝐵)))
136130, 135syl5ibr 234 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
13793, 136jaoi 392 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
138137imp 443 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
1394, 138sylanb 487 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
1403, 139impbid2 214 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2776  wral 2892  wrex 2893   class class class wbr 4574  (class class class)co 6524  cr 9788  0cc0 9789  1c1 9790   < clt 9927  cle 9928  cn 10864  0cn0 11136  cz 11207  cexp 12674  cdvds 14764  cprime 15166
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-pre-sup 9867
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-2o 7422  df-oadd 7425  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-sup 8205  df-inf 8206  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-rp 11662  df-fz 12150  df-fl 12407  df-mod 12483  df-seq 12616  df-exp 12675  df-fac 12875  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632  df-sqrt 13766  df-abs 13767  df-dvds 14765  df-gcd 14998  df-prm 15167
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator