Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Hankins < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0prpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0prpw 32302
Description: Two nonnegative integers are the same if and only if they are divisible by the same prime powers. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
nn0prpw ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑝,𝐴   𝐵,𝑛,𝑝

Proof of Theorem nn0prpw
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4655 . . . 4 (𝐴 = 𝐵 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
21a1d 25 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
32ralrimivv 2969 . 2 (𝐴 = 𝐵 → ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
4 elnn0 11291 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
5 elnn0 11291 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
6 nnre 11024 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
7 nnre 11024 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
8 lttri2 10117 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
96, 7, 8syl2an 494 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
109ancoms 469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
11 nn0prpwlem 32301 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
12 breq1 4654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝐴 → (𝑘 < 𝐵𝐴 < 𝐵))
13 breq2 4655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝐴 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴))
1413bibi1d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝐴 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
1514notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝐴 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
16152rexbidv 3055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝐴 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
1712, 16imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝐴 → ((𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)) ↔ (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))))
1817rspcv 3303 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))))
1911, 18mpan9 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
20 nn0prpwlem 32301 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ ℕ → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
21 breq1 4654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝐵 → (𝑘 < 𝐴𝐵 < 𝐴))
22 breq2 4655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝐵 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
2322bibi1d 333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝐵 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)))
24 bicom 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑝𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
2523, 24syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝐵 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
2625notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝐵 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
27262rexbidv 3055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝐵 → (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴) ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
2821, 27imbi12d 334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝐵 → ((𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)) ↔ (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))))
2928rspcv 3303 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℕ → (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝑘 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐴)) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))))
3020, 29syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))))
3130impcom 446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐴 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
3219, 31jaod 395 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
3310, 32sylbid 230 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴𝐵 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
34 df-ne 2794 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐵)
35 rexnal2 3041 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
3633, 34, 353imtr3g 284 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
3736con4d 114 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
3837ex 450 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
39 prmunb 15612 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝)
40 1nn 11028 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ
41 prmz 15383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
42 1nn0 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℕ0
43 zexpcl 12870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑝↑1) ∈ ℤ)
4441, 42, 43sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∈ ℤ)
45 dvdsle 15026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑝↑1) ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → (𝑝↑1) ≤ 𝐴))
4644, 45sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → (𝑝↑1) ≤ 𝐴))
47 prmnn 15382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
48 nnre 11024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝 ∈ ℕ → 𝑝 ∈ ℝ)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
50 reexpcl 12872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑝 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑝↑1) ∈ ℝ)
5149, 42, 50sylancl 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∈ ℝ)
52 lenlt 10113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑝↑1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝑝↑1)))
5351, 6, 52syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < (𝑝↑1)))
5447nncnd 11033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℂ)
5554exp1d 12998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) = 𝑝)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑝↑1) = 𝑝)
5756breq2d 4663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐴 < (𝑝↑1) ↔ 𝐴 < 𝑝))
5857notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (¬ 𝐴 < (𝑝↑1) ↔ ¬ 𝐴 < 𝑝))
5953, 58bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 𝑝))
6046, 59sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑝))
6160ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝑝))
6261con2d 129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 < 𝑝 → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
63623impia 1260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐴)
64 dvds0 14991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝↑1) ∈ ℤ → (𝑝↑1) ∥ 0)
6544, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝↑1) ∥ 0)
66653ad2ant2 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → (𝑝↑1) ∥ 0)
67 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → (((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴) → ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴)))
6866, 67mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → (((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴) → (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
6963, 68mtod 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
70 biimpr 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0) → ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
7169, 70nsyl 135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0))
72 oveq2 6655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = 1 → (𝑝𝑛) = (𝑝↑1))
7372breq1d 4661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 1 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐴))
7472breq1d 4661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 1 → ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0))
7573, 74bibi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 1 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0) ↔ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)))
7675notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 1 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0) ↔ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)))
7776rspcev 3307 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝↑1) ∥ 0)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
7840, 71, 77sylancr 695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐴 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
79783expia 1266 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐴 < 𝑝 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0)))
8079reximdva 3016 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐴 < 𝑝 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0)))
8139, 80mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
82 rexnal2 3041 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
8381, 82sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℕ → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
8483pm2.21d 118 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0) → 𝐴 = 0))
85 breq2 4655 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = 0 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
8685bibi2d 332 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 0 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0)))
87862ralbidv 2988 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = 0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0)))
88 eqeq2 2632 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = 0 → (𝐴 = 𝐵𝐴 = 0))
8987, 88imbi12d 334 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 0 → ((∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0) → 𝐴 = 0)))
9084, 89syl5ibr 236 . . . . . . . 8 (𝐵 = 0 → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
9138, 90jaoi 394 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0) → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
925, 91sylbi 207 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℕ → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
9392com12 32 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
94 orcom 402 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0) ↔ (𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℕ))
95 df-or 385 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 = 0 ∨ 𝐵 ∈ ℕ) ↔ (¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℕ))
965, 94, 953bitri 286 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℕ))
97 prmunb 15612 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝐵 < 𝑝)
98 dvdsle 15026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑝↑1) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → (𝑝↑1) ≤ 𝐵))
9944, 98sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → (𝑝↑1) ≤ 𝐵))
100 lenlt 10113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑝↑1) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑝↑1)))
10151, 7, 100syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < (𝑝↑1)))
10255adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑝↑1) = 𝑝)
103102breq2d 4663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵 < (𝑝↑1) ↔ 𝐵 < 𝑝))
104103notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 𝐵 < (𝑝↑1) ↔ ¬ 𝐵 < 𝑝))
105101, 104bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝑝))
10699, 105sylibd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝑝))
107106ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝↑1) ∥ 𝐵 → ¬ 𝐵 < 𝑝))
108107con2d 129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 < 𝑝 → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
1091083impia 1260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)
110653ad2ant2 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → (𝑝↑1) ∥ 0)
111 idd 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → (((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵) → ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵)))
112110, 111mpid 44 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → (((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵) → (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
113109, 112mtod 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
114 biimp 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵) → ((𝑝↑1) ∥ 0 → (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
115113, 114nsyl 135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
11672breq1d 4661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = 1 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐵 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵))
11774, 116bibi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 = 1 → (((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)))
118117notbid 308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = 1 → (¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)))
119118rspcev 3307 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℕ ∧ ¬ ((𝑝↑1) ∥ 0 ↔ (𝑝↑1) ∥ 𝐵)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
12040, 115, 119sylancr 695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝐵 < 𝑝) → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
1211203expia 1266 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐵 < 𝑝 → ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
122121reximdva 3016 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 ∈ ℕ → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝐵 < 𝑝 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
12397, 122mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
124 rexnal2 3041 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑛 ∈ ℕ ¬ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
125123, 124sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℕ → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵))
126125imim2i 16 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐵 = 0 → 𝐵 ∈ ℕ) → (¬ 𝐵 = 0 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
12796, 126sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ0 → (¬ 𝐵 = 0 → ¬ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
128127con4d 114 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐵 = 0))
129 eqcom 2628 . . . . . . 7 (𝐵 = 0 ↔ 0 = 𝐵)
130128, 129syl6ib 241 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 0 = 𝐵))
131 breq2 4655 . . . . . . . . 9 (𝐴 = 0 → ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 0))
132131bibi1d 333 . . . . . . . 8 (𝐴 = 0 → (((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
1331322ralbidv 2988 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
134 eqeq1 2625 . . . . . . 7 (𝐴 = 0 → (𝐴 = 𝐵 ↔ 0 = 𝐵))
135133, 134imbi12d 334 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → ((∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵) ↔ (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 0 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 0 = 𝐵)))
136130, 135syl5ibr 236 . . . . 5 (𝐴 = 0 → (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
13793, 136jaoi 394 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) → (𝐵 ∈ ℕ0 → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)))
138137imp 445 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
1394, 138sylanb 489 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
1403, 139impbid2 216 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑝 ∈ ℙ ∀𝑛 ∈ ℕ ((𝑝𝑛) ∥ 𝐴 ↔ (𝑝𝑛) ∥ 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  wne 2793  wral 2911  wrex 2912   class class class wbr 4651  (class class class)co 6647  cr 9932  0cc0 9933  1c1 9934   < clt 10071  cle 10072  cn 11017  0cn0 11289  cz 11374  cexp 12855  cdvds 14977  cprime 15379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010  ax-pre-sup 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-2o 7558  df-oadd 7561  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-sup 8345  df-inf 8346  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-div 10682  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-n0 11290  df-z 11375  df-uz 11685  df-rp 11830  df-fz 12324  df-fl 12588  df-mod 12664  df-seq 12797  df-exp 12856  df-fac 13056  df-cj 13833  df-re 13834  df-im 13835  df-sqrt 13969  df-abs 13970  df-dvds 14978  df-gcd 15211  df-prm 15380
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator