MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0re Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0re 11339
Description: A nonnegative integer is a real number. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0re (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nn0re
StepHypRef Expression
1 nn0ssre 11334 . 2 0 ⊆ ℝ
21sseli 3632 1 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030  cr 9973  0cn0 11330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-nn 11059  df-n0 11331
This theorem is referenced by:  nn0ge0  11356  nn0nlt0  11357  nn0le0eq0  11359  nn0p1gt0  11360  elnnnn0c  11376  nn0addge1  11377  nn0addge2  11378  nn0sub  11381  ltsubnn0  11382  nn0negleid  11383  difgtsumgt  11384  nn0n0n1ge2b  11397  nn0ge2m1nn  11398  nn0nndivcl  11400  xnn0xr  11406  nn0nepnf  11409  xnn0nemnf  11412  elznn0nn  11429  nn0lt2  11478  nn0le2is012  11479  nn0ge0div  11484  nn01to3  11819  xnn0xaddcl  12104  xnn0lenn0nn0  12113  xnn0xadd0  12115  nn0rp0  12317  xnn0xrge0  12363  nn0fz0  12476  elfz0fzfz0  12483  fz0fzelfz0  12484  fz0fzdiffz0  12487  fzctr  12490  difelfzle  12491  difelfznle  12492  fvffz0  12496  fzoun  12544  nn0p1elfzo  12550  elfzo0le  12551  fzonmapblen  12553  fzofzim  12554  elincfzoext  12565  elfzodifsumelfzo  12573  fzonn0p1  12584  fzonn0p1p1  12586  elfzom1p1elfzo  12587  ssfzoulel  12602  ubmelm1fzo  12604  elfznelfzo  12613  fvinim0ffz  12627  subfzo0  12630  adddivflid  12659  divfl0  12665  fldivnn0le  12673  flltdivnn0lt  12674  quoremnn0ALT  12696  modmuladdnn0  12754  addmodid  12758  modifeq2int  12772  modfzo0difsn  12782  modsumfzodifsn  12783  addmodlteq  12785  ssnn0fi  12824  fsuppmapnn0fiub0  12833  suppssfz  12834  bernneq  13030  bernneq3  13032  facwordi  13116  faclbnd  13117  faclbnd3  13119  faclbnd5  13125  faclbnd6  13126  facubnd  13127  facavg  13128  bcval4  13134  bcval5  13145  bcpasc  13148  hashbnd  13163  hashnnn0genn0  13171  hashnemnf  13172  hashclb  13187  hashneq0  13193  hashsdom  13208  fi1uzind  13317  brfi1indALT  13320  ccat0  13394  swrdsbslen  13494  swrdspsleq  13495  2swrdeqwrdeq  13499  swrdswrdlem  13505  swrdswrd  13506  swrdccatin1  13529  swrdccatin12lem2  13535  swrdccatin12lem3  13536  swrdccat3  13538  swrdccat  13539  swrdccat3blem  13541  swrdccatid  13543  repswswrd  13577  2cshw  13605  cshweqrep  13613  cshwcsh2id  13620  2swrd2eqwrdeq  13742  isercoll  14442  o1fsum  14589  geomulcvg  14651  rerisefaccl  14792  refallfaccl  14793  rprisefaccl  14798  dvdseq  15083  oddge22np1  15120  nn0ehalf  15142  nn0o1gt2  15144  nn0o  15146  nn0oddm1d2  15148  divalglem5  15167  bitsfi  15206  bitsinv1  15211  gcdn0gt0  15286  nn0gcdid0  15289  absmulgcd  15313  nn0seqcvgd  15330  algcvgblem  15337  algcvga  15339  lcmgcdnn  15371  lcmfun  15405  lcmfass  15406  prmfac1  15478  prmndvdsfaclt  15482  nonsq  15514  hashgcdlem  15540  odzdvds  15547  iserodd  15587  pcprendvds  15592  pcdvdsb  15620  pcidlem  15623  dvdsprmpweqle  15637  difsqpwdvds  15638  pcfaclem  15649  prmunb  15665  ramtcl2  15762  ramubcl  15769  ram0  15773  ramub1lem1  15777  cshwshashlem2  15850  sylow1lem1  18059  pgpssslw  18075  efgsfo  18198  efgred  18207  telgsums  18436  psrbagcon  19419  gsumbagdiaglem  19423  psrridm  19452  coe1tmmul2  19694  gsummoncoe1  19722  prmirredlem  19889  prmirred  19891  mp2pm2mplem4  20662  fvmptnn04ifb  20704  chfacfisf  20707  chfacfisfcpmat  20708  chfacffsupp  20709  chfacfscmul0  20711  chfacfpmmul0  20715  dyaddisj  23410  mdegle0  23882  deg1nn0clb  23895  deg1ge  23903  deg1tmle  23922  ply1divex  23941  plyco0  23993  coeeulem  24025  coeaddlem  24050  coe1termlem  24059  dgreq0  24066  dgrlt  24067  plydivex  24097  aannenlem1  24128  taylfvallem1  24156  tayl0  24161  radcnvlem1  24212  radcnvlem2  24213  dvradcnv  24220  leibpi  24714  log2tlbnd  24717  birthdaylem3  24725  zetacvg  24786  basellem2  24853  basellem3  24854  chpp1  24926  bcmono  25047  bcmax  25048  lgsdinn0  25115  2lgslem1c  25163  dchrisumlem1  25223  ostth2lem2  25368  nbusgrvtxm1  26325  upgrewlkle2  26558  pthdlem1  26718  crctcshwlkn0lem4  26761  crctcshwlkn0  26769  crctcsh  26772  wwlksm1edg  26835  wwlksnred  26855  wwlksnredwwlkn  26858  wwlksnredwwlkn0  26859  wwlksnextwrd  26860  wwlksnextfun  26861  wwlksnextinj  26862  wwlksnextproplem1  26872  wwlksnextproplem2  26873  wwlksnextproplem3  26874  clwlkclwwlklem2a1  26958  clwlkclwwlklem2a2  26959  clwlkclwwlklem2fv1  26961  clwlkclwwlklem2fv2  26962  clwlkclwwlklem2a4  26963  clwlkclwwlklem2a  26964  clwlkclwwlklem2  26966  clwlkclwwlk  26968  clwlkclwwlk2  26969  clwwisshclwwslem  26971  clwwlkel  27009  wwlksext2clwwlk  27021  wwlksext2clwwlkOLD  27022  clwlksf1clwwlklem1  27052  clwwlknonex2lem2  27083  eupth2lems  27216  eupth2  27217  eucrctshift  27221  numclwwlk7  27378  frgrreggt1  27380  frgrreg  27381  frgrogt3nreg  27384  friendship  27386  nn0sqeq1  29641  dpcl  29726  hasheuni  30275  eulerpartlems  30550  hgt750lem  30857  derangen  31280  faclimlem1  31755  poimirlem28  33567  rrntotbnd  33765  nacsfix  37592  eldioph2lem1  37640  irrapxlem4  37706  pell14qrgt0  37740  pell1qrgaplem  37754  pellqrexplicit  37758  rmxycomplete  37799  jm2.17a  37844  jm2.17b  37845  rmygeid  37848  jm2.22  37879  rmxdiophlem  37899  hbtlem5  38015  hbt  38017  fperiodmullem  39831  dvnxpaek  40475  stoweidlem17  40552  wallispilem3  40602  stirlinglem5  40613  stirlinglem7  40615  fourierdlem16  40658  fourierdlem21  40663  fourierdlem22  40664  fourierdlem83  40724  fourierdlem112  40753  elaa2lem  40768  etransclem23  40792  zm1nn  41641  nn0resubcl  41642  fz0addge0  41654  elfzlble  41655  subsubelfzo0  41661  2ffzoeq  41663  iccpartigtl  41684  lswn0  41705  pfx2  41737  pfxccatin12lem2  41749  pfxccat3  41751  pfxccat3a  41754  sqrtpwpw2p  41775  fmtnodvds  41781  goldbachth  41784  odz2prm2pw  41800  flsqrt  41833  nn0e  41933  nn0sumltlt  42453  ply1mulgsumlem2  42500  nn0eo  42647  flnn0div2ge  42652  fllog2  42687  dignn0fr  42720  digexp  42726  dig2nn0  42730  0dig2nn0e  42731  dig2bits  42733
  Copyright terms: Public domain W3C validator