Theorem nn0sqeq1 29743

Description: Integer square one. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sqeq1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁↑2) = 1) → 𝑁 = 1)

Proof of Theorem nn0sqeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 11414	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
2		1red 10168	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
3	1, 2	lttri2d 10289	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≠ 1 ↔ (𝑁 < 1 ∨ 1 < 𝑁)))
4		nn0lt10b 11552	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))
5	4	biimpa 502	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 = 0)
6	5	sq0id 13072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 1) → (𝑁↑2) = 0)
7		0ne1 11201	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≠ 1
8	7	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 1) → 0 ≠ 1)
9	6, 8	eqnetrd 2963	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 1) → (𝑁↑2) ≠ 1)
10		1red 10168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
11		sq1 13073	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
12		0le1 10664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 1
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 1)
14		nn0ge0 11431	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
15	2, 1, 13, 14	lt2sqd 13158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 < 𝑁 ↔ (1↑2) < (𝑁↑2)))
16	15	biimpa 502	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝑁) → (1↑2) < (𝑁↑2))
17	11, 16	syl5eqbrr 4796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝑁) → 1 < (𝑁↑2))
18	10, 17	gtned 10285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 < 𝑁) → (𝑁↑2) ≠ 1)
19	9, 18	jaodan 861	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 < 1 ∨ 1 < 𝑁)) → (𝑁↑2) ≠ 1)
20	19	ex 449	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 < 1 ∨ 1 < 𝑁) → (𝑁↑2) ≠ 1))
21	3, 20	sylbid 230	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁↑2) ≠ 1))
22	21	necon4d 2920	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁↑2) = 1 → 𝑁 = 1))
23	22	imp 444	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁↑2) = 1) → 𝑁 = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2896   class class class wbr 4760  (class class class)co 6765  0cc0 10049  1c1 10050   < clt 10187   ≤ cle 10188  2c2 11183  ℕ₀cn0 11405  ↑cexp 12975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-seq 12917  df-exp 12976

This theorem is referenced by:  2sqcoprm  29877