MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ssre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0ssre 11146
Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)
Assertion
Ref Expression
nn0ssre 0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre
StepHypRef Expression
1 df-n0 11143 . 2 0 = (ℕ ∪ {0})
2 nnssre 10874 . . 3 ℕ ⊆ ℝ
3 0re 9897 . . . 4 0 ∈ ℝ
4 snssi 4279 . . . 4 (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
53, 4ax-mp 5 . . 3 {0} ⊆ ℝ
62, 5unssi 3749 . 2 (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
71, 6eqsstri 3597 1 0 ⊆ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1976  cun 3537  wss 3539  {csn 4124  cr 9792  0cc0 9793  cn 10870  0cn0 11142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-ov 6530  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-nn 10871  df-n0 11143
This theorem is referenced by:  nn0sscn  11147  nn0re  11151  nn0rei  11153  nn0red  11202  ssnn0fi  12604  fsuppmapnn0fiublem  12609  fsuppmapnn0fiub  12610  fsuppmapnn0fiubOLD  12611  hashxrcl  12965  ramtlecl  15491  ramcl2lem  15500  ramxrcl  15508  0ram2  15512  0ramcl  15514  mdegleb  23573  mdeglt  23574  mdegldg  23575  mdegxrcl  23576  mdegcl  23578  mdegaddle  23583  mdegmullem  23587  deg1mul3le  23625  plyeq0lem  23715  dgrval  23733  dgrcl  23738  dgrub  23739  dgrlb  23741  aannenlem2  23833  taylfval  23862  tgcgr4  25172  motcgrg  25185  xrsmulgzz  28843  nn0omnd  29006  nn0archi  29008  esumcst  29286  oddpwdc  29577  lermxnn0  36359  hbtlem2  36537  ssnn0ssfz  41942
  Copyright terms: Public domain W3C validator