MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0ssre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0ssre 11889
Description: Nonnegative integers are a subset of the reals. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.)
Assertion
Ref Expression
nn0ssre 0 ⊆ ℝ

Proof of Theorem nn0ssre
StepHypRef Expression
1 df-n0 11886 . 2 0 = (ℕ ∪ {0})
2 nnssre 11630 . . 3 ℕ ⊆ ℝ
3 0re 10631 . . . 4 0 ∈ ℝ
4 snssi 4733 . . . 4 (0 ∈ ℝ → {0} ⊆ ℝ)
53, 4ax-mp 5 . . 3 {0} ⊆ ℝ
62, 5unssi 4158 . 2 (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℝ
71, 6eqsstri 3998 1 0 ⊆ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2105  cun 3931  wss 3933  {csn 4557  cr 10524  0cc0 10525  cn 11626  0cn0 11885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-nn 11627  df-n0 11886
This theorem is referenced by:  nn0re  11894  nn0rei  11896  nn0red  11944  ssnn0fi  13341  fsuppmapnn0fiublem  13346  fsuppmapnn0fiub  13347  hashxrcl  13706  ramtlecl  16324  ramcl2lem  16333  ramxrcl  16341  0ram2  16345  0ramcl  16347  mdegleb  24585  mdeglt  24586  mdegldg  24587  mdegxrcl  24588  mdegcl  24590  mdegaddle  24595  mdegmullem  24599  deg1mul3le  24637  plyeq0lem  24727  dgrval  24745  dgrcl  24750  dgrub  24751  dgrlb  24753  aannenlem2  24845  taylfval  24874  tgcgr4  26244  motcgrg  26257  hashxpe  30455  dplti  30508  xrsmulgzz  30592  nn0omnd  30841  nn0archi  30843  esumcst  31221  oddpwdc  31511  breprexp  31803  lermxnn0  39425  hbtlem2  39602  ssnn0ssfz  44325
  Copyright terms: Public domain W3C validator