Theorem nn0ssz 12006

Description: Nonnegative integers are a subset of the integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ssz	⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Proof of Theorem nn0ssz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-n0 11901	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
2		nnssz 12005	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℤ
3		0z 11995	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
4		c0ex 10637	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ V
5	4	snss 4720	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ ↔ {0} ⊆ ℤ)
6	3, 5	mpbi 232	. . 3 ⊢ {0} ⊆ ℤ
7	2, 6	unssi 4163	. 2 ⊢ (ℕ ∪ {0}) ⊆ ℤ
8	1, 7	eqsstri 4003	1 ⊢ ℕ0 ⊆ ℤ

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3936   ⊆ wss 3938  {csn 4569  0cc0 10539  ℕcn 11640  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985

This theorem is referenced by:  nn0z  12008  nn0zi  12010  nn0zd  12088  nn0ssq  12359  nthruz  15608  oddnn02np1  15699  evennn02n  15701  bitsf1ocnv  15795  pclem  16177  0ram  16358  0ram2  16359  0ramcl  16361  gexex  18975  iscmet3lem3  23895  plyeq0lem  24802  dgrlem  24821  2sqreultblem  26026  archirngz  30820  diophrw  39363  diophin  39376  diophun  39377  eq0rabdioph  39380  eqrabdioph  39381  rabdiophlem1  39405  diophren  39417  etransclem48  42574