Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0sumltlt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0sumltlt 42453
 Description: If the sum of two nonnegative integers is less than a third integer, then one of the summands is already less than this third integer. (Contributed by AV, 19-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
nn0sumltlt ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐𝑏 < 𝑐))

Proof of Theorem nn0sumltlt
StepHypRef Expression
1 nn0re 11339 . . 3 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℝ)
2 nn0re 11339 . . 3 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℝ)
3 nn0re 11339 . . 3 (𝑐 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℝ)
4 ltaddsub2 10541 . . 3 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐𝑏 < (𝑐𝑎)))
51, 2, 3, 4syl3an 1408 . 2 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐𝑏 < (𝑐𝑎)))
6 nn0ge0 11356 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑎)
763ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 𝑎)
81, 3anim12ci 590 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ))
983adant2 1100 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ))
10 subge02 10582 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝑎 ↔ (𝑐𝑎) ≤ 𝑐))
1110bicomd 213 . . . . 5 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → ((𝑐𝑎) ≤ 𝑐 ↔ 0 ≤ 𝑎))
129, 11syl 17 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑐𝑎) ≤ 𝑐 ↔ 0 ≤ 𝑎))
137, 12mpbird 247 . . 3 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐𝑎) ≤ 𝑐)
1423ad2ant2 1103 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → 𝑏 ∈ ℝ)
15 nn0resubcl 41642 . . . . . 6 ((𝑐 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℕ0) → (𝑐𝑎) ∈ ℝ)
1615ancoms 468 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐𝑎) ∈ ℝ)
17163adant2 1100 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑐𝑎) ∈ ℝ)
1833ad2ant3 1104 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → 𝑐 ∈ ℝ)
19 ltletr 10167 . . . 4 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑎) ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝑏 < (𝑐𝑎) ∧ (𝑐𝑎) ≤ 𝑐) → 𝑏 < 𝑐))
2014, 17, 18, 19syl3anc 1366 . . 3 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑏 < (𝑐𝑎) ∧ (𝑐𝑎) ≤ 𝑐) → 𝑏 < 𝑐))
2113, 20mpan2d 710 . 2 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → (𝑏 < (𝑐𝑎) → 𝑏 < 𝑐))
225, 21sylbid 230 1 ((𝑎 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 𝑏) < 𝑐𝑏 < 𝑐))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   ∈ wcel 2030   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  ℕ0cn0 11330 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331 This theorem is referenced by:  ply1mulgsumlem1  42499
 Copyright terms: Public domain W3C validator