Theorem nn0sumshdig 44677

Description: A nonnegative integer can be represented as sum of its shifted bits. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nn0sumshdig	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Proof of Theorem nn0sumshdig

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blennn0elnn 44631	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (#b‘𝐴) ∈ ℕ)
2		nn0sumshdiglem2 44676	. . 3 ⊢ ((#b‘𝐴) ∈ ℕ → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (#b‘𝐴) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
3		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ (#b‘𝐴) = (#b‘𝐴)
4		fveqeq2 6673	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((#b‘𝑎) = (#b‘𝐴) ↔ (#b‘𝐴) = (#b‘𝐴)))
5		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → 𝑎 = 𝐴)
6		oveq2 7158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (𝑘(digit‘2)𝐴))
7	6	oveq1d 7165	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))
8	7	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))
9	8	sumeq2dv 15054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))
10	5, 9	eqeq12d 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘))))
11	4, 10	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (((#b‘𝑎) = (#b‘𝐴) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘𝐴) = (#b‘𝐴) → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))))
12	11	rspcva 3620	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (#b‘𝐴) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘𝐴) = (#b‘𝐴) → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘))))
13	3, 12	mpi 20	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (#b‘𝐴) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))) → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))
14	13	ex 415	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b‘𝑎) = (#b‘𝐴) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘))))
15	2, 14	syl5 34	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((#b‘𝐴) ∈ ℕ → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘))))
16	1, 15	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 = Σ𝑘 ∈ (0..^(#b‘𝐴))((𝑘(digit‘2)𝐴) · (2↑𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  0cc0 10531   · cmul 10536  ℕcn 11632  2c2 11686  ℕ₀cn0 11891  ..^cfzo 13027  ↑cexp 13423  Σcsu 15036  #_bcblen 44623  digitcdig 44649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-iin 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-ioo 12736  df-ioc 12737  df-ico 12738  df-icc 12739  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-fac 13628  df-bc 13657  df-hash 13685  df-shft 14420  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-limsup 14822  df-clim 14839  df-rlim 14840  df-sum 15037  df-ef 15415  df-sin 15417  df-cos 15418  df-pi 15420  df-dvds 15602  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-rest 16690  df-topn 16691  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-topgen 16711  df-pt 16712  df-prds 16715  df-xrs 16769  df-qtop 16774  df-imas 16775  df-xps 16777  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-mulg 18219  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-fbas 20536  df-fg 20537  df-cnfld 20540  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-cld 21621  df-ntr 21622  df-cls 21623  df-nei 21700  df-lp 21738  df-perf 21739  df-cn 21829  df-cnp 21830  df-haus 21917  df-tx 22164  df-hmeo 22357  df-fil 22448  df-fm 22540  df-flim 22541  df-flf 22542  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926  df-cncf 23480  df-limc 24458  df-dv 24459  df-log 25134  df-cxp 25135  df-logb 25337  df-blen 44624  df-dig 44650

This theorem is referenced by:  nn0mullong  44679