Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nn0sumshdiglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0sumshdiglem2 44610
Description: Lemma 2 for nn0sumshdig 44611. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0sumshdiglem2 (𝐿 ∈ ℕ → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝐿𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
Distinct variable group:   𝑘,𝑎,𝐿

Proof of Theorem nn0sumshdiglem2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2830 . . . 4 (𝑥 = 1 → ((#b𝑎) = 𝑥 ↔ (#b𝑎) = 1))
2 oveq2 7153 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (0..^𝑥) = (0..^1))
3 fzo01 13107 . . . . . . 7 (0..^1) = {0}
42, 3syl6eq 2869 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (0..^𝑥) = {0})
54sumeq1d 15046 . . . . 5 (𝑥 = 1 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
65eqeq2d 2829 . . . 4 (𝑥 = 1 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
71, 6imbi12d 346 . . 3 (𝑥 = 1 → (((#b𝑎) = 𝑥𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
87ralbidv 3194 . 2 (𝑥 = 1 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝑥𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
9 eqeq2 2830 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((#b𝑎) = 𝑥 ↔ (#b𝑎) = 𝑦))
10 oveq2 7153 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (0..^𝑥) = (0..^𝑦))
1110sumeq1d 15046 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
1211eqeq2d 2829 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
139, 12imbi12d 346 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (((#b𝑎) = 𝑥𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b𝑎) = 𝑦𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
1413ralbidv 3194 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝑥𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝑦𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
15 eqeq2 2830 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((#b𝑎) = 𝑥 ↔ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)))
16 oveq2 7153 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0..^𝑥) = (0..^(𝑦 + 1)))
1716sumeq1d 15046 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
1817eqeq2d 2829 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
1915, 18imbi12d 346 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (((#b𝑎) = 𝑥𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
2019ralbidv 3194 . 2 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝑥𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
21 eqeq2 2830 . . . 4 (𝑥 = 𝐿 → ((#b𝑎) = 𝑥 ↔ (#b𝑎) = 𝐿))
22 oveq2 7153 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐿 → (0..^𝑥) = (0..^𝐿))
2322sumeq1d 15046 . . . . 5 (𝑥 = 𝐿 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
2423eqeq2d 2829 . . . 4 (𝑥 = 𝐿 → (𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ↔ 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
2521, 24imbi12d 346 . . 3 (𝑥 = 𝐿 → (((#b𝑎) = 𝑥𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b𝑎) = 𝐿𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
2625ralbidv 3194 . 2 (𝑥 = 𝐿 → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝑥𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑥)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) ↔ ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝐿𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
27 0cnd 10622 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℂ)
28 2nn 11698 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
2928a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ)
30 0zd 11981 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
31 nn0rp0 12831 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ (0[,)+∞))
32 digvalnn0 44587 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℕ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ (0[,)+∞)) → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
3329, 30, 31, 32syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℕ0 → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
3433nn0cnd 11945 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℕ0 → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
35 1cnd 10624 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3634, 35mulcld 10649 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℕ0 → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ)
3727, 36jca 512 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℂ ∧ ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ))
3837adantr 481 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b𝑎) = 1) → (0 ∈ ℂ ∧ ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ))
39 oveq1 7152 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (0(digit‘2)𝑎))
40 oveq2 7153 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
41 2cn 11700 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
42 exp0 13421 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (2↑0) = 1
4440, 43syl6eq 2869 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = 1)
4539, 44oveq12d 7163 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
4645sumsn 15089 . . . . . 6 ((0 ∈ ℂ ∧ ((0(digit‘2)𝑎) · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
4738, 46syl 17 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b𝑎) = 1) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
4834adantr 481 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b𝑎) = 1) → (0(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
4948mulid1d 10646 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b𝑎) = 1) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = (0(digit‘2)𝑎))
50 blen1b 44576 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ ℕ0 → ((#b𝑎) = 1 ↔ (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1)))
5150biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b𝑎) = 1) → (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1))
52 vex 3495 . . . . . . . 8 𝑎 ∈ V
5352elpr 4580 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ {0, 1} ↔ (𝑎 = 0 ∨ 𝑎 = 1))
5451, 53sylibr 235 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b𝑎) = 1) → 𝑎 ∈ {0, 1})
55 0dig2pr01 44598 . . . . . 6 (𝑎 ∈ {0, 1} → (0(digit‘2)𝑎) = 𝑎)
5654, 55syl 17 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b𝑎) = 1) → (0(digit‘2)𝑎) = 𝑎)
5747, 49, 563eqtrrd 2858 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (#b𝑎) = 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
5857ex 413 . . 3 (𝑎 ∈ ℕ0 → ((#b𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
5958rgen 3145 . 2 𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 1 → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
60 nn0sumshdiglem1 44609 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝑦𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
618, 14, 20, 26, 59, 60nnind 11644 1 (𝐿 ∈ ℕ → ∀𝑎 ∈ ℕ0 ((#b𝑎) = 𝐿𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝐿)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  {csn 4557  {cpr 4559  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  +∞cpnf 10660  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  [,)cico 12728  ..^cfzo 13021  cexp 13417  Σcsu 15030  #bcblen 44557  digitcdig 44583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-dvds 15596  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392  df-log 25067  df-cxp 25068  df-logb 25270  df-blen 44558  df-dig 44584
This theorem is referenced by:  nn0sumshdig  44611
  Copyright terms: Public domain W3C validator