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Theorem nn0sumshdiglemA 42206
Description: Lemma for nn0sumshdig 42210 (induction step, even multiplier). (Contributed by AV, 3-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0sumshdiglemA (((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
Distinct variable group:   𝑘,𝑎,𝑥,𝑦

Proof of Theorem nn0sumshdiglemA
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11146 . . . 4 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ → (𝑎 / 2) ∈ ℕ0)
2 blennn0em1 42178 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ0) → (#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1))
31, 2sylan2 489 . . 3 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) → (#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1))
4 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑎 / 2) → (#b𝑥) = (#b‘(𝑎 / 2)))
54eqeq1d 2611 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑎 / 2) → ((#b𝑥) = 𝑦 ↔ (#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦))
6 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑎 / 2) → 𝑥 = (𝑎 / 2))
7 oveq2 6535 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑎 / 2) → (𝑘(digit‘2)𝑥) = (𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)))
87oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑎 / 2) → ((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)))
98adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = (𝑎 / 2) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)))
109sumeq2dv 14227 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑎 / 2) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)))
116, 10eqeq12d 2624 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑎 / 2) → (𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) ↔ (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))))
125, 11imbi12d 332 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑎 / 2) → (((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)))))
1312rspcva 3279 . . . . . . . . 9 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))))
14 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → (#b𝑎) = (𝑦 + 1))
1514oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → ((#b𝑎) − 1) = ((𝑦 + 1) − 1))
16 nncn 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
17 pncan1 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
1915, 18sylan9eq 2663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) − 1) = 𝑦)
2019eqeq2d 2619 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) ↔ (#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦))
21 nnz 11232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
2221adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
23 fzval3 12359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℤ → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
2524eqcomd 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0...𝑦))
2625sumeq1d 14225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
27 nnnn0 11146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
28 elnn0uz 11557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (ℤ‘0))
2927, 28sylib 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ (ℤ‘0))
3029adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (ℤ‘0))
31 2nn 11032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℕ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
33 elfzelz 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
3433adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
35 nnnn0 11146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℕ0)
36 nn0rp0 12106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ (0[,)+∞))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
3837ad4antlr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
39 digvalnn0 42186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
4032, 34, 38, 39syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
4140nn0cnd 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
42 2nn0 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℕ0
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 2 ∈ ℕ0)
44 elfznn0 12257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4543, 44nn0expcld 12848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
4645nn0cnd 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
4746adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
4841, 47mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
49 oveq1 6534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (0(digit‘2)𝑎))
50 oveq2 6535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
5149, 50oveq12d 6545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)))
52 2cn 10938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℂ
53 exp0 12681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2↑0) = 1
5554oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1)
5651, 55syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
5730, 48, 56fsum1p 14272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
58 0dig2nn0e 42199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑎) = 0)
5935, 1, 58syl2anr 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (0(digit‘2)𝑎) = 0)
6059oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = (0 · 1))
61 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ∈ ℝ
62 mul02lem2 10064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1 ∈ ℝ → (0 · 1) = 0)
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 · 1) = 0
6460, 63syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = 0)
6564adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = 0)
6665adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = 0)
67 1z 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℤ
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
69 0p1e1 10979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 + 1) = 1
7069, 67eqeltri 2683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 + 1) ∈ ℤ
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0 + 1) ∈ ℤ)
7231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
73 elfzelz 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
7473adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
7537ad4antlr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
7672, 74, 75, 39syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
7776nn0cnd 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
78 2cnd 10940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 2 ∈ ℂ)
79 elfznn 12196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ)
8079nnnn0d 11198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8169oveq1i 6537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((0 + 1)...𝑦) = (1...𝑦)
8280, 81eleq2s 2705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8378, 82expcld 12825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
8483adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
8577, 84mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
86 oveq1 6534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘(digit‘2)𝑎) = ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎))
87 oveq2 6535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (2↑𝑘) = (2↑(𝑖 + 1)))
8886, 87oveq12d 6545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
8968, 71, 22, 85, 88fsumshftm 14301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
9066, 89oveq12d 6545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) = (0 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
911ad4antr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑎 / 2) ∈ ℕ0)
9235ad4antlr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
93 elfzonn0 12335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℕ0)
9493adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
95 dignn0ehalf 42204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)))
9691, 92, 94, 95syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)))
97 2cnd 10940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 2 ∈ ℂ)
9897, 93expp1d 12826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
9998adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
10096, 99oveq12d 6545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
10131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
102 elfzoelz 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℤ)
103102adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑖 ∈ ℤ)
104 nn0rp0 12106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑎 / 2) ∈ (0[,)+∞))
1051, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ → (𝑎 / 2) ∈ (0[,)+∞))
106105ad4antr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑎 / 2) ∈ (0[,)+∞))
107 digvalnn0 42186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑎 / 2) ∈ (0[,)+∞)) → (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) ∈ ℕ0)
108101, 103, 106, 107syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) ∈ ℕ0)
109108nn0cnd 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) ∈ ℂ)
110 2re 10937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 ∈ ℝ
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 2 ∈ ℝ)
112111, 93reexpcld 12842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℝ)
113112recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
114113adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
115 2cnd 10940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℂ)
116 mulass 9880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑖) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
117116eqcomd 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑖) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
118109, 114, 115, 117syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
119100, 118eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
120119sumeq2dv 14227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
121 0cn 9888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 ∈ ℂ
122 pncan1 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (0 ∈ ℂ → ((0 + 1) − 1) = 0)
123121, 122ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((0 + 1) − 1) = 0
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ ℕ → ((0 + 1) − 1) = 0)
125124oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0...(𝑦 − 1)))
126 fzoval 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ ℤ → (0..^𝑦) = (0...(𝑦 − 1)))
127126eqcomd 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ ℤ → (0...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
12821, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ℕ → (0...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
129125, 128eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
130129adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
131130sumeq1d 14225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
132131oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = (0 + Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
133 fzofi 12590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0..^𝑦) ∈ Fin
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0..^𝑦) ∈ Fin)
135102peano2zd 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
136135adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
13737ad4antlr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
138 digvalnn0 42186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
139101, 136, 137, 138syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
140139nn0cnd 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
14142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 2 ∈ ℕ0)
142 peano2nn0 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
14393, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
144141, 143nn0expcld 12848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑(𝑖 + 1)) ∈ ℕ0)
145144nn0cnd 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
146145adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
147140, 146mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
148134, 147fsumcl 14257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
149148addid2d 10088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0 + Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
150132, 149eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
151 2cnd 10940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
152141, 93nn0expcld 12848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℕ0)
153152nn0cnd 11200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
154153adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
155109, 154mulcld 9916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
156134, 151, 155fsummulc1 14305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
157120, 150, 1563eqtr4d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
15890, 157eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
15926, 57, 1583eqtrd 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
160159adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
161 oveq1 6534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) = (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)))
162 oveq2 6535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 = 𝑖 → (2↑𝑘) = (2↑𝑖))
163161, 162oveq12d 6545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) = ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)))
164163cbvsumv 14220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖))
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)))
166165eqeq2d 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ↔ (𝑎 / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖))))
167166biimpac 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑎 / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)))
168167eqcomd 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) = (𝑎 / 2))
169168oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = ((𝑎 / 2) · 2))
170 nncn 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℂ)
171 2cnd 10940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
172 2ne0 10960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ≠ 0
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
174170, 171, 173divcan1d 10651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑎 / 2) · 2) = 𝑎)
175174ad3antlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑎 / 2) · 2) = 𝑎)
176175adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑎 / 2) · 2) = 𝑎)
177160, 169, 1763eqtrrd 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
178177ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) → (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
179178imim2i 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
180179com13 85 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
18120, 180sylbid 228 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
182181com23 83 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
183182exp31 627 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
184183com25 96 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
185184com14 93 . . . . . . . . 9 (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
18613, 185syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
187186ex 448 . . . . . . 7 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
188187com25 96 . . . . . 6 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 → (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
189188expdcom 453 . . . . 5 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ → (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))))
1901, 189mpid 42 . . . 4 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ → (𝑎 ∈ ℕ → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
191190impcom 444 . . 3 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
1923, 191mpd 15 . 2 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
193192imp 443 1 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7818  cc 9790  cr 9791  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797  +∞cpnf 9927  cmin 10117   / cdiv 10533  cn 10867  2c2 10917  0cn0 11139  cz 11210  cuz 11519  [,)cico 12004  ...cfz 12152  ..^cfzo 12289  cexp 12677  Σcsu 14210  #bcblen 42156  digitcdig 42182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870  ax-addf 9871  ax-mulf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6772  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-supp 7160  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-ixp 7772  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-fsupp 8136  df-fi 8177  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-q 11621  df-rp 11665  df-xneg 11778  df-xadd 11779  df-xmul 11780  df-ioo 12006  df-ioc 12007  df-ico 12008  df-icc 12009  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-fl 12410  df-mod 12486  df-seq 12619  df-exp 12678  df-fac 12878  df-bc 12907  df-hash 12935  df-shft 13601  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-limsup 13996  df-clim 14013  df-rlim 14014  df-sum 14211  df-ef 14583  df-sin 14585  df-cos 14586  df-pi 14588  df-struct 15643  df-ndx 15644  df-slot 15645  df-base 15646  df-sets 15647  df-ress 15648  df-plusg 15727  df-mulr 15728  df-starv 15729  df-sca 15730  df-vsca 15731  df-ip 15732  df-tset 15733  df-ple 15734  df-ds 15737  df-unif 15738  df-hom 15739  df-cco 15740  df-rest 15852  df-topn 15853  df-0g 15871  df-gsum 15872  df-topgen 15873  df-pt 15874  df-prds 15877  df-xrs 15931  df-qtop 15936  df-imas 15937  df-xps 15939  df-mre 16015  df-mrc 16016  df-acs 16018  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-submnd 17105  df-mulg 17310  df-cntz 17519  df-cmn 17964  df-psmet 19505  df-xmet 19506  df-met 19507  df-bl 19508  df-mopn 19509  df-fbas 19510  df-fg 19511  df-cnfld 19514  df-top 20463  df-bases 20464  df-topon 20465  df-topsp 20466  df-cld 20575  df-ntr 20576  df-cls 20577  df-nei 20654  df-lp 20692  df-perf 20693  df-cn 20783  df-cnp 20784  df-haus 20871  df-tx 21117  df-hmeo 21310  df-fil 21402  df-fm 21494  df-flim 21495  df-flf 21496  df-xms 21876  df-ms 21877  df-tms 21878  df-cncf 22420  df-limc 23353  df-dv 23354  df-log 24024  df-logb 24220  df-blen 42157  df-dig 42183
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