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Theorem nn0sumshdiglemA 42738
Description: Lemma for nn0sumshdig 42742 (induction step, even multiplier). (Contributed by AV, 3-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0sumshdiglemA (((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
Distinct variable group:   𝑘,𝑎,𝑥,𝑦

Proof of Theorem nn0sumshdiglemA
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnnn0 11337 . . . 4 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ → (𝑎 / 2) ∈ ℕ0)
2 blennn0em1 42710 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ0) → (#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1))
31, 2sylan2 490 . . 3 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) → (#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1))
4 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑎 / 2) → (#b𝑥) = (#b‘(𝑎 / 2)))
54eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑎 / 2) → ((#b𝑥) = 𝑦 ↔ (#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦))
6 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑎 / 2) → 𝑥 = (𝑎 / 2))
7 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝑎 / 2) → (𝑘(digit‘2)𝑥) = (𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)))
87oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝑎 / 2) → ((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)))
98adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = (𝑎 / 2) ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)))
109sumeq2dv 14477 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝑎 / 2) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)))
116, 10eqeq12d 2666 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑎 / 2) → (𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) ↔ (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))))
125, 11imbi12d 333 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑎 / 2) → (((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)))))
1312rspcva 3338 . . . . . . . . 9 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))))
14 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → (#b𝑎) = (𝑦 + 1))
1514oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → ((#b𝑎) − 1) = ((𝑦 + 1) − 1))
16 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
17 pncan1 10492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℂ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
1915, 18sylan9eq 2705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) − 1) = 𝑦)
2019eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) ↔ (#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦))
21 nnz 11437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
2221adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℤ)
23 fzval3 12576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℤ → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
2524eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0...𝑦))
2625sumeq1d 14475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
27 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
28 elnn0uz 11763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (ℤ‘0))
2927, 28sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ (ℤ‘0))
3029adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ (ℤ‘0))
31 2nn 11223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2 ∈ ℕ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
33 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
35 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℕ0)
36 nn0rp0 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ (0[,)+∞))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
3837ad4antlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
39 digvalnn0 42718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
4032, 34, 38, 39syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
4140nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
42 2nn0 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 ∈ ℕ0
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 2 ∈ ℕ0)
44 elfznn0 12471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4543, 44nn0expcld 13071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
4645nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
4841, 47mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
49 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (0(digit‘2)𝑎))
50 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
5149, 50oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)))
52 2cn 11129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℂ
53 exp0 12904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2↑0) = 1
5554oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1)
5651, 55syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
5730, 48, 56fsum1p 14526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
58 0dig2nn0e 42731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑎) = 0)
5935, 1, 58syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → (0(digit‘2)𝑎) = 0)
6059oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = (0 · 1))
61 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ∈ ℝ
62 mul02lem2 10251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (1 ∈ ℝ → (0 · 1) = 0)
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 · 1) = 0
6460, 63syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = 0)
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = 0)
6665adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = 0)
67 1z 11445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℤ
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
69 0p1e1 11170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (0 + 1) = 1
7069, 67eqeltri 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (0 + 1) ∈ ℤ
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0 + 1) ∈ ℤ)
7231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
73 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
7537ad4antlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
7672, 74, 75, 39syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
7776nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
78 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 2 ∈ ℂ)
79 elfznn 12408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ)
8079nnnn0d 11389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8169oveq1i 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((0 + 1)...𝑦) = (1...𝑦)
8280, 81eleq2s 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
8378, 82expcld 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
8483adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
8577, 84mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
86 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘(digit‘2)𝑎) = ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎))
87 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (2↑𝑘) = (2↑(𝑖 + 1)))
8886, 87oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
8968, 71, 22, 85, 88fsumshftm 14557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
9066, 89oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) = (0 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
911ad4antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑎 / 2) ∈ ℕ0)
9235ad4antlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
93 elfzonn0 12552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℕ0)
9493adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
95 dignn0ehalf 42736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)))
9691, 92, 94, 95syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)))
97 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 2 ∈ ℂ)
9897, 93expp1d 13049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
9998adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
10096, 99oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
10131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
102 elfzoelz 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℤ)
103102adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑖 ∈ ℤ)
104 nn0rp0 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 → (𝑎 / 2) ∈ (0[,)+∞))
1051, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ → (𝑎 / 2) ∈ (0[,)+∞))
106105ad4antr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑎 / 2) ∈ (0[,)+∞))
107 digvalnn0 42718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ (𝑎 / 2) ∈ (0[,)+∞)) → (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) ∈ ℕ0)
108101, 103, 106, 107syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) ∈ ℕ0)
109108nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) ∈ ℂ)
110 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 ∈ ℝ
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 2 ∈ ℝ)
112111, 93reexpcld 13065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℝ)
113112recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
114113adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
115 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℂ)
116 mulass 10062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑖) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
117116eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) ∈ ℂ ∧ (2↑𝑖) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
118109, 114, 115, 117syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
119100, 118eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = (((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
120119sumeq2dv 14477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
121 0cn 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 0 ∈ ℂ
122 pncan1 10492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (0 ∈ ℂ → ((0 + 1) − 1) = 0)
123121, 122ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((0 + 1) − 1) = 0
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ ℕ → ((0 + 1) − 1) = 0)
125124oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0...(𝑦 − 1)))
126 fzoval 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ ℤ → (0..^𝑦) = (0...(𝑦 − 1)))
127126eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ ℤ → (0...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
12821, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 ∈ ℕ → (0...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
129125, 128eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
130129adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
131130sumeq1d 14475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
132131oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = (0 + Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
133 fzofi 12813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (0..^𝑦) ∈ Fin
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0..^𝑦) ∈ Fin)
135102peano2zd 11523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
136135adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖 + 1) ∈ ℤ)
13737ad4antlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
138 digvalnn0 42718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝑖 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
139101, 136, 137, 138syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
140139nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
14142a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 2 ∈ ℕ0)
142 peano2nn0 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 ∈ ℕ0 → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
14393, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖 + 1) ∈ ℕ0)
144141, 143nn0expcld 13071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑(𝑖 + 1)) ∈ ℕ0)
145144nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
146145adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑(𝑖 + 1)) ∈ ℂ)
147140, 146mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
148134, 147fsumcl 14508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) ∈ ℂ)
149148addid2d 10275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0 + Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
150132, 149eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
151 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
152141, 93nn0expcld 13071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℕ0)
153152nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
154153adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
155109, 154mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
156134, 151, 155fsummulc1 14561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
157120, 150, 1563eqtr4d 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (0 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
15890, 157eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
15926, 57, 1583eqtrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
160159adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
161 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) = (𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)))
162 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 = 𝑖 → (2↑𝑘) = (2↑𝑖))
163161, 162oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) = ((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)))
164163cbvsumv 14470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖))
165164a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)))
166165eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ↔ (𝑎 / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖))))
167166biimpac 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑎 / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)))
168167eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) = (𝑎 / 2))
169168oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = ((𝑎 / 2) · 2))
170 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 ∈ ℕ → 𝑎 ∈ ℂ)
171 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
172 2ne0 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ≠ 0
173172a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
174170, 171, 173divcan1d 10840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑎 / 2) · 2) = 𝑎)
175174ad3antlr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑎 / 2) · 2) = 𝑎)
176175adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑎 / 2) · 2) = 𝑎)
177160, 169, 1763eqtrrd 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
178177ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘)) → (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
179178imim2i 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
180179com13 88 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
18120, 180sylbid 230 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
182181com23 86 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
183182exp31 629 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
184183com25 99 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
185184com14 96 . . . . . . . . 9 (((#b‘(𝑎 / 2)) = 𝑦 → (𝑎 / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)(𝑎 / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
18613, 185syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
187186ex 449 . . . . . . 7 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
188187com25 99 . . . . . 6 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 → (((𝑎 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝑎 ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
189188expdcom 454 . . . . 5 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ → (𝑎 ∈ ℕ → ((𝑎 / 2) ∈ ℕ0 → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))))
1901, 189mpid 44 . . . 4 ((𝑎 / 2) ∈ ℕ → (𝑎 ∈ ℕ → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
191190impcom 445 . . 3 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) → ((#b‘(𝑎 / 2)) = ((#b𝑎) − 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
1923, 191mpd 15 . 2 ((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
193192imp 444 1 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ (𝑎 / 2) ∈ ℕ) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  cfv 5926  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  +∞cpnf 10109  cmin 10304   / cdiv 10722  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  [,)cico 12215  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  cexp 12900  Σcsu 14460  #bcblen 42688  digitcdig 42714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-logb 24548  df-blen 42689  df-dig 42715
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