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Theorem nn0sumshdiglemB 41732
Description: Lemma for nn0sumshdig 41735 (induction step, odd multiplier). (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
nn0sumshdiglemB (((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
Distinct variable group:   𝑘,𝑎,𝑥,𝑦

Proof of Theorem nn0sumshdiglemB
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn1uz2 11717 . . 3 (𝑎 ∈ ℕ ↔ (𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ‘2)))
2 1t1e1 11127 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
32eqcomi 2630 . . . . . . . 8 1 = (1 · 1)
4 simpl 473 . . . . . . . 8 ((𝑎 = 1 ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → 𝑎 = 1)
5 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 + 1) = (#b𝑎) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(#b𝑎)))
65eqcoms 2629 . . . . . . . . . . 11 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0..^(#b𝑎)))
7 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 1 → (#b𝑎) = (#b‘1))
8 blen1 41696 . . . . . . . . . . . . . 14 (#b‘1) = 1
97, 8syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 1 → (#b𝑎) = 1)
109oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 1 → (0..^(#b𝑎)) = (0..^1))
11 fzo01 12499 . . . . . . . . . . . 12 (0..^1) = {0}
1210, 11syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 1 → (0..^(#b𝑎)) = {0})
136, 12sylan9eqr 2677 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 = 1 ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → (0..^(𝑦 + 1)) = {0})
1413sumeq1d 14373 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = 1 ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
15 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 1 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (𝑘(digit‘2)1))
1615oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 1 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)))
1716sumeq2sdv 14376 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 1 → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)))
18 c0ex 9986 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
19 ax-1cn 9946 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
2019, 19mulcli 9997 . . . . . . . . . . . 12 (1 · 1) ∈ ℂ
21 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)1) = (0(digit‘2)1))
22 1ex 9987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ V
2322prid2 4273 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ {0, 1}
24 0dig2pr01 41722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ {0, 1} → (0(digit‘2)1) = 1)
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0(digit‘2)1) = 1
2621, 25syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)1) = 1)
27 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = (2↑0))
28 2cn 11043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℂ
29 exp0 12812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℂ → (2↑0) = 1)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2↑0) = 1
3127, 30syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 0 → (2↑𝑘) = 1)
3226, 31oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
3332sumsn 14416 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ V ∧ (1 · 1) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
3418, 20, 33mp2an 707 . . . . . . . . . . 11 Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)1) · (2↑𝑘)) = (1 · 1)
3517, 34syl6eq 2671 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 1 → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
3635adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑎 = 1 ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ {0} ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
3714, 36eqtrd 2655 . . . . . . . 8 ((𝑎 = 1 ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 · 1))
383, 4, 373eqtr4a 2681 . . . . . . 7 ((𝑎 = 1 ∧ (#b𝑎) = (𝑦 + 1)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
3938ex 450 . . . . . 6 (𝑎 = 1 → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
4039a1d 25 . . . . 5 (𝑎 = 1 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
41402a1d 26 . . . 4 (𝑎 = 1 → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
42 eluzge2nn0 11679 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → 𝑎 ∈ ℕ0)
43 nn0ob 15035 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ ℕ0 → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
4443bicomd 213 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ ℕ0 → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
4542, 44syl 17 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0))
46 blennngt2o2 41704 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1))
4746ex 450 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
4845, 47sylbid 230 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
4948imp 445 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1))
50 fveq2 6153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (#b𝑥) = (#b‘((𝑎 − 1) / 2)))
5150eqeq1d 2623 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → ((#b𝑥) = 𝑦 ↔ (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦))
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → 𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2))
53 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (𝑘(digit‘2)𝑥) = (𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
5453oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → ((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = ((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))
5554sumeq2sdv 14376 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))
5652, 55eqeq12d 2636 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))))
5751, 56imbi12d 334 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ((𝑎 − 1) / 2) → (((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) ↔ ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)))))
5857rspcva 3296 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))))
59 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → ((#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) ↔ (𝑦 + 1) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1)))
60 nncn 10980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
6160ad2antll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
62 blennn0elnn 41689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ)
6362nncnd 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
6564ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
66 1cnd 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℂ)
6761, 65, 66addcan2d 10192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑦 + 1) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) ↔ 𝑦 = (#b‘((𝑎 − 1) / 2))))
68 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) ↔ (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦)
69 nnz 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
7069ad2antll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
71 fzval3 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ ℤ → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0...𝑦) = (0..^(𝑦 + 1)))
7372eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0..^(𝑦 + 1)) = (0...𝑦))
7473sumeq1d 14373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
75 nnnn0 11251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℕ0)
76 elnn0uz 11677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ (ℤ‘0))
7775, 76sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ (ℤ‘0))
7877ad2antll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ (ℤ‘0))
79 2nn 11137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2 ∈ ℕ
8079a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
81 elfzelz 12292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
8281adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
83 nn0rp0 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ (0[,)+∞))
8442, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
8584adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
8685adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
87 digvalnn0 41711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑎 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
8880, 82, 86, 87syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
8988ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0))
9089ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0))
9190imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
9291nn0cnd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
93 2nn0 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 ∈ ℕ0
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 2 ∈ ℕ0)
95 elfznn0 12382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9694, 95nn0expcld 12979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℕ0)
9796nn0cnd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 ∈ (0...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
9897adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
9992, 98mulcld 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
100 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 = 0 → (𝑘(digit‘2)𝑎) = (0(digit‘2)𝑎))
101100, 27oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)))
10230oveq2i 6621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((0(digit‘2)𝑎) · (2↑0)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1)
103101, 102syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 = 0 → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = ((0(digit‘2)𝑎) · 1))
10478, 99, 103fsum1p 14423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
10542adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
10642, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
107106biimparc 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0)
108 0dig2nn0o 41725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑎 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
109105, 107, 108syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
110109ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0(digit‘2)𝑎) = 1)
111110oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = (1 · 1))
112111, 2syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((0(digit‘2)𝑎) · 1) = 1)
113 1z 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1 ∈ ℤ
114113a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 1 ∈ ℤ)
115 0p1e1 11084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (0 + 1) = 1
116115, 113eqeltri 2694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (0 + 1) ∈ ℤ
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (0 + 1) ∈ ℤ)
11879a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
119 elfzelz 12292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℤ)
120119adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑘 ∈ ℤ)
12142adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑎 ∈ ℕ0)
122121, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → 𝑎 ∈ (0[,)+∞))
123118, 120, 122, 87syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
124123ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0))
125124adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0))
126125ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0))
127126imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℕ0)
128127nn0cnd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (𝑘(digit‘2)𝑎) ∈ ℂ)
129 2cnd 11045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 2 ∈ ℂ)
130 elfznn 12320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ)
131130nnnn0d 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 ∈ (1...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
132115oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((0 + 1)...𝑦) = (1...𝑦)
133131, 132eleq2s 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → 𝑘 ∈ ℕ0)
134129, 133expcld 12956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
135134adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → (2↑𝑘) ∈ ℂ)
136128, 135mulcld 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) ∈ ℂ)
137 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (𝑘(digit‘2)𝑎) = ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎))
138 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (2↑𝑘) = (2↑(𝑖 + 1)))
139137, 138oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
140114, 117, 70, 136, 139fsumshftm 14452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))))
141112, 140oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (((0(digit‘2)𝑎) · 1) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
14274, 104, 1413eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
143142adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)) = (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))))
14479a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℕ)
145 elfzoelz 12419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℤ)
146145adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 𝑖 ∈ ℤ)
147 nn0rp0 12229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
148147adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
149148adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞))
150 digvalnn0 41711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑖 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ (0[,)+∞)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ0)
151144, 146, 149, 150syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℕ0)
152151nn0cnd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
153152ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ))
154153ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ))
155154imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
15693a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 2 ∈ ℕ0)
157 elfzonn0 12461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → 𝑖 ∈ ℕ0)
158156, 157nn0expcld 12979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℕ0)
159158nn0cnd 11305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
160159adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
161 2cnd 11045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → 2 ∈ ℂ)
162155, 160, 161mulassd 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
163162eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = (((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
164163sumeq2dv 14375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
165164adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
166 0cn 9984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 0 ∈ ℂ
167 pncan1 10406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (0 ∈ ℂ → ((0 + 1) − 1) = 0)
168166, 167ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((0 + 1) − 1) = 0
169168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 ∈ ℕ → ((0 + 1) − 1) = 0)
170169oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0...(𝑦 − 1)))
171 fzoval 12420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑦 ∈ ℤ → (0..^𝑦) = (0...(𝑦 − 1)))
17269, 171syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 ∈ ℕ → (0..^𝑦) = (0...(𝑦 − 1)))
173170, 172eqtr4d 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ ℕ → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
174173ad2antll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0..^𝑦))
175 simprlr 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ (ℤ‘2))
176 elfznn0 12382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑖 ∈ (0...(𝑦 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
177168oveq1i 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) = (0...(𝑦 − 1))
178176, 177eleq2s 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → 𝑖 ∈ ℕ0)
179 dignn0flhalf 41730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))))
180175, 178, 179syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))))
181 eluzelz 11649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → 𝑎 ∈ ℤ)
182181adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → 𝑎 ∈ ℤ)
183 nn0z 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ)
184 zob 15018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑎 ∈ ℤ → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
185181, 184syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℤ))
186183, 185syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
187186imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ)
188182, 187jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
189188ancoms 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
190189ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
191190adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ))
192 zofldiv2 41639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ ((𝑎 + 1) / 2) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑎 / 2)) = ((𝑎 − 1) / 2))
193191, 192syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (⌊‘(𝑎 / 2)) = ((𝑎 − 1) / 2))
194193oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (𝑖(digit‘2)(⌊‘(𝑎 / 2))) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
195180, 194eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → ((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
196 2cnd 11045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → 2 ∈ ℂ)
197196, 178expp1d 12957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1)) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
198197adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (2↑(𝑖 + 1)) = ((2↑𝑖) · 2))
199195, 198oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) ∧ 𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))) → (((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
200174, 199sumeq12dv 14378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
201200adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · ((2↑𝑖) · 2)))
202 oveq1 6617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) = (𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)))
203 oveq2 6618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 = 𝑖 → (2↑𝑘) = (2↑𝑖))
204202, 203oveq12d 6628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) = ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
205204cbvsumv 14368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖))
206205eqeq2i 2633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ↔ ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
207206biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
208207adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)))
209208oveq1d 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
210 fzofi 12721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (0..^𝑦) ∈ Fin
211210a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (0..^𝑦) ∈ Fin)
212 2cnd 11045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → 2 ∈ ℂ)
213159adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → (2↑𝑖) ∈ ℂ)
214152, 213mulcld 10012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
215214ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
216215adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
217216ad2antll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (𝑖 ∈ (0..^𝑦) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ))
218217imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑦)) → ((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) ∈ ℂ)
219211, 212, 218fsummulc1 14456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
220209, 219eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = Σ𝑖 ∈ (0..^𝑦)(((𝑖(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑖)) · 2))
221165, 201, 2203eqtr4d 2665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1))) = (((𝑎 − 1) / 2) · 2))
222221oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (1 + Σ𝑖 ∈ (((0 + 1) − 1)...(𝑦 − 1))(((𝑖 + 1)(digit‘2)𝑎) · (2↑(𝑖 + 1)))) = (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)))
223 eluzelcn 11651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → 𝑎 ∈ ℂ)
224 peano2cnm 10299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑎 ∈ ℂ → (𝑎 − 1) ∈ ℂ)
225223, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → (𝑎 − 1) ∈ ℂ)
226 2cnd 11045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → 2 ∈ ℂ)
227 2ne0 11065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 ≠ 0
228227a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≠ 0)
229225, 226, 2283jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
230229adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
231 divcan1 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑎 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (𝑎 − 1))
232230, 231syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑎 − 1) / 2) · 2) = (𝑎 − 1))
233232oveq2d 6626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = (1 + (𝑎 − 1)))
234 1cnd 10008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → 1 ∈ ℂ)
235234, 223jca 554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ))
236235adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ))
237 pncan3 10241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (1 + (𝑎 − 1)) = 𝑎)
238236, 237syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (1 + (𝑎 − 1)) = 𝑎)
239233, 238eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
240239adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
241240ad2antll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → (1 + (((𝑎 − 1) / 2) · 2)) = 𝑎)
242143, 222, 2413eqtrrd 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) ∧ ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))
243242ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘)) → (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))
244243imim2i 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
245244com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
24668, 245syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → (𝑦 = (#b‘((𝑎 − 1) / 2)) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
24767, 246sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#b𝑎) = (𝑦 + 1) ∧ ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ)) → ((𝑦 + 1) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
248247ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
249248com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
25059, 249sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → ((#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
251250com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
252251com14 96 . . . . . . . . . . . . 13 (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0𝑎 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
253252exp4c 635 . . . . . . . . . . . 12 (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → (𝑦 ∈ ℕ → ((#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
254253com35 98 . . . . . . . . . . 11 (((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) = 𝑦 → ((𝑎 − 1) / 2) = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)((𝑎 − 1) / 2)) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
25558, 254syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘)))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
256255ex 450 . . . . . . . . 9 (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))))
257256pm2.43a 54 . . . . . . . 8 (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
258257com25 99 . . . . . . 7 (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → ((#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))))
259258impcom 446 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((#b𝑎) = ((#b‘((𝑎 − 1) / 2)) + 1) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
26049, 259mpd 15 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘))))))
261260ex 450 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℤ‘2) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
26241, 261jaoi 394 . . 3 ((𝑎 = 1 ∨ 𝑎 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
2631, 262sylbi 207 . 2 (𝑎 ∈ ℕ → (((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0 → (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))))
264263imp31 448 1 (((𝑎 ∈ ℕ ∧ ((𝑎 − 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ0 ((#b𝑥) = 𝑦𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0..^𝑦)((𝑘(digit‘2)𝑥) · (2↑𝑘))) → ((#b𝑎) = (𝑦 + 1) → 𝑎 = Σ𝑘 ∈ (0..^(𝑦 + 1))((𝑘(digit‘2)𝑎) · (2↑𝑘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  Vcvv 3189  {csn 4153  {cpr 4155  cfv 5852  (class class class)co 6610  Fincfn 7907  cc 9886  0cc0 9888  1c1 9889   + caddc 9891   · cmul 9893  +∞cpnf 10023  cmin 10218   / cdiv 10636  cn 10972  2c2 11022  0cn0 11244  cz 11329  cuz 11639  [,)cico 12127  ...cfz 12276  ..^cfzo 12414  cfl 12539  cexp 12808  Σcsu 14358  #bcblen 41681  digitcdig 41707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-inf2 8490  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965  ax-pre-sup 9966  ax-addf 9967  ax-mulf 9968
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-isom 5861  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-of 6857  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-supp 7248  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-ixp 7861  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-fsupp 8228  df-fi 8269  df-sup 8300  df-inf 8301  df-oi 8367  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-div 10637  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-4 11033  df-5 11034  df-6 11035  df-7 11036  df-8 11037  df-9 11038  df-n0 11245  df-z 11330  df-dec 11446  df-uz 11640  df-q 11741  df-rp 11785  df-xneg 11898  df-xadd 11899  df-xmul 11900  df-ioo 12129  df-ioc 12130  df-ico 12131  df-icc 12132  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-fl 12541  df-mod 12617  df-seq 12750  df-exp 12809  df-fac 13009  df-bc 13038  df-hash 13066  df-shft 13749  df-cj 13781  df-re 13782  df-im 13783  df-sqrt 13917  df-abs 13918  df-limsup 14144  df-clim 14161  df-rlim 14162  df-sum 14359  df-ef 14734  df-sin 14736  df-cos 14737  df-pi 14739  df-dvds 14919  df-struct 15794  df-ndx 15795  df-slot 15796  df-base 15797  df-sets 15798  df-ress 15799  df-plusg 15886  df-mulr 15887  df-starv 15888  df-sca 15889  df-vsca 15890  df-ip 15891  df-tset 15892  df-ple 15893  df-ds 15896  df-unif 15897  df-hom 15898  df-cco 15899  df-rest 16015  df-topn 16016  df-0g 16034  df-gsum 16035  df-topgen 16036  df-pt 16037  df-prds 16040  df-xrs 16094  df-qtop 16099  df-imas 16100  df-xps 16102  df-mre 16178  df-mrc 16179  df-acs 16181  df-mgm 17174  df-sgrp 17216  df-mnd 17227  df-submnd 17268  df-mulg 17473  df-cntz 17682  df-cmn 18127  df-psmet 19670  df-xmet 19671  df-met 19672  df-bl 19673  df-mopn 19674  df-fbas 19675  df-fg 19676  df-cnfld 19679  df-top 20631  df-topon 20648  df-topsp 20661  df-bases 20674  df-cld 20746  df-ntr 20747  df-cls 20748  df-nei 20825  df-lp 20863  df-perf 20864  df-cn 20954  df-cnp 20955  df-haus 21042  df-tx 21288  df-hmeo 21481  df-fil 21573  df-fm 21665  df-flim 21666  df-flf 21667  df-xms 22048  df-ms 22049  df-tms 22050  df-cncf 22604  df-limc 23553  df-dv 23554  df-log 24224  df-cxp 24225  df-logb 24420  df-blen 41682  df-dig 41708
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