MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0z Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0z 11235
Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0z (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)

Proof of Theorem nn0z
StepHypRef Expression
1 nn0ssz 11233 . 2 0 ⊆ ℤ
21sseli 3563 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  0cn0 11141  cz 11212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870  df-n0 11142  df-z 11213
This theorem is referenced by:  nn0negz  11250  nn0ltp1le  11270  nn0leltp1  11271  nn0ltlem1  11272  nn0lt2  11275  nn0lem1lt  11276  fnn0ind  11310  nn0pzuz  11579  nn0ge2m1nnALT  11616  fz1n  12187  ige2m1fz  12256  elfz2nn0  12257  fznn0  12258  elfz0add  12264  fzctr  12277  difelfzle  12278  fzofzim  12339  fzo1fzo0n0  12343  elincfzoext  12350  elfzodifsumelfzo  12358  zpnn0elfzo  12364  fzossfzop1  12369  ubmelm1fzo  12387  elfznelfzo  12396  flmulnn0  12447  quoremnn0  12474  zmodidfzoimp  12519  modmuladdnn0  12533  modfzo0difsn  12561  expdiv  12730  faclbnd3  12898  bccmpl  12915  bcnp1n  12920  bcval5  12924  bcn2  12925  bcp1m1  12926  hashge2el2difr  13070  fi1uzind  13082  fi1uzindOLD  13088  ccatalpha  13176  swrdfv2  13246  swrdsb0eq  13247  swrdsbslen  13248  swrdspsleq  13249  swrdlsw  13252  2swrd1eqwrdeq  13254  swrdccatin12lem1  13283  swrdccatin12lem3  13289  swrdccat3  13291  swrdccat  13292  revlen  13310  repswswrd  13330  repswccat  13331  cshwidxmodr  13349  cshf1  13355  2cshw  13358  cshweqrep  13366  cshwcshid  13372  cshwcsh2id  13373  cats1fv  13403  swrd2lsw  13491  2swrd2eqwrdeq  13492  isercoll  14194  iseraltlem2  14209  bcxmas  14354  geo2sum2  14392  geomulcvg  14394  risefacval2  14528  fallfacval2  14529  zrisefaccl  14538  zfallfaccl  14539  fallrisefac  14543  bpolylem  14566  fsumkthpow  14574  esum  14598  ege2le3  14607  eftlcl  14624  reeftlcl  14625  eftlub  14626  effsumlt  14628  eirrlem  14719  dvds1  14827  dvdsext  14829  addmodlteqALT  14833  oddnn02np1  14858  oddge22np1  14859  nn0ehalf  14881  nn0o1gt2  14883  nno  14884  nn0o  14885  nn0oddm1d2  14887  divalglem4  14905  divalglem5  14906  modremain  14918  bitsinv1  14950  nn0gcdid0  15028  nn0seqcvgd  15069  algcvga  15078  eucalgf  15082  nonsq  15253  odzdvds  15286  coprimeprodsq  15299  coprimeprodsq2  15300  oddprm  15301  iserodd  15326  pcexp  15350  pcidlem  15362  pc11  15370  dvdsprmpweqle  15376  difsqpwdvds  15377  pcfac  15389  prmunb  15404  hashbc2  15496  cshwshashlem2  15589  mulgaddcom  17335  mulginvcom  17336  mulgz  17339  mulgdirlem  17343  mulgass  17350  mndodcongi  17733  oddvdsnn0  17734  odeq  17740  odmulg  17744  efgsdmi  17916  cyggex2  18069  mulgass2  18372  chrrhm  19645  zncrng  19659  znzrh2  19660  zndvds  19664  znchr  19677  znunit  19678  chfacfisf  20425  chfacfisfcpmat  20426  chfacfscmulfsupp  20430  chfacfpmmulfsupp  20434  clmmulg  22656  itgcnlem  23306  degltlem1  23580  plyco0  23696  dgreq0  23769  plydivex  23800  aannenlem1  23831  abelthlem1  23933  abelthlem3  23935  abelthlem8  23941  abelthlem9  23942  advlogexp  24145  cxpexp  24158  leibpilem1  24411  leibpi  24413  log2cnv  24415  log2tlbnd  24416  basellem2  24552  sgmnncl  24617  chpp1  24625  bcmono  24746  bcmax  24747  bcp1ctr  24748  lgsneg1  24791  lgsdirnn0  24813  lgsdinn0  24814  2lgslem1c  24862  2lgslem3a1  24869  2lgslem3b1  24870  2lgslem3c1  24871  2lgsoddprmlem2  24878  dchrisumlem1  24922  qabvle  25058  ostth2lem2  25067  tgldimor  25141  redwlklem  25928  redwlk  25929  fargshiftlem  25955  fargshiftfo  25959  wlkiswwlk2lem3  26014  wwlknred  26044  wwlknext  26045  wwlkm1edg  26056  wwlkextproplem1  26062  wlkv0  26081  clwlkisclwwlklem2a1  26100  clwlkisclwwlklem2a2  26101  clwlkisclwwlklem2fv1  26103  clwlkisclwwlklem2fv2  26104  clwlkisclwwlklem2a4  26105  clwlkisclwwlklem2a  26106  clwlkisclwwlklem1  26108  clwlkisclwwlk  26110  clwwisshclwwlem  26127  clwlkfclwwlk2wrd  26160  clwlkfclwwlk  26164  clwlkf1clwwlklem3  26168  nbhashuvtx1  26235  frgrawopreglem2  26365  numclwwlk5lem  26431  numclwwlk5  26432  numclwwlk7  26434  frgrareggt1  26436  nndiffz1  28729  xrge0mulgnn0  28813  hashf2  29266  signsvtn0  29766  fz0n  30662  bcneg1  30668  bccolsum  30671  faclimlem3  30677  faclim  30678  iprodfac  30679  poimirlem28  32390  mblfinlem1  32399  mblfinlem2  32400  nacsfix  36076  fzsplit1nn0  36118  eldioph2lem1  36124  fz1eqin  36133  diophin  36137  eq0rabdioph  36141  rexrabdioph  36159  rexzrexnn0  36169  irrapxlem4  36190  pell14qrss1234  36221  pell1qrss14  36233  monotoddzz  36309  rmxypos  36315  ltrmynn0  36316  ltrmxnn0  36317  lermxnn0  36318  rmxnn  36319  rmynn0  36325  jm2.17a  36328  jm2.17b  36329  rmygeid  36332  jm2.18  36356  jm2.19lem3  36359  jm2.19lem4  36360  jm2.22  36363  rmxdiophlem  36383  hbt  36502  proot1ex  36581  fzisoeu  38238  stirlinglem5  38754  fmtnof1  39769  fmtnorec1  39771  goldbachthlem1  39779  odz2prm2pw  39797  flsqrt  39830  lighneallem4  39849  wrdred1  40024  wrdred1hash  40025  pfxnd  40042  pfxccat3  40073  pfxccat3a  40076  elfzlble  40163  subsubelfzo0  40165  2ffzoeq  40167  upgrewlkle2  40789  1wlkv0  40840  red1wlk  40862  pthdadjvtx  40917  pthdlem1  40953  1wlkiswwlks2lem3  41049  wwlksm1edg  41059  wwlksnred  41079  wwlksnext  41080  clwlkclwwlklem2a1  41182  clwlkclwwlklem2a2  41183  clwlkclwwlklem2fv1  41185  clwlkclwwlklem2fv2  41186  clwlkclwwlklem2a4  41187  clwlkclwwlklem2a  41188  clwlkclwwlklem2  41190  clwlkclwwlk  41192  clwwisshclwwslem  41215  clwlksfclwwlk2wrd  41246  clwlksfclwwlk  41250  clwlksf1clwwlklem3  41255  eucrctshift  41392  eucrct2eupth1  41393  eucrct2eupth  41394  av-numclwwlk5lem  41522  av-numclwwlk5  41523  av-numclwwlk7  41526  av-frgrareggt1  41528  nn0le2is012  41919  nn0eo  42097  nn0ofldiv2  42101  flnn0div2ge  42102  fllog2  42141  blenpw2  42151  blennngt2o2  42165  nn0digval  42173  dignn0fr  42174  digexp  42180  0dig2nn0e  42185  0dig2nn0o  42186  dig2bits  42187  dignn0flhalflem2  42189  dignn0ehalf  42190  dignn0flhalf  42191  nn0sumshdiglemB  42193
  Copyright terms: Public domain W3C validator