MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn1suc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn1suc 10883
Description: If a statement holds for 1 and also holds for a successor, it holds for all positive integers. The first three hypotheses give us the substitution instances we need; the last two show that it holds for 1 and for a successor. (Contributed by NM, 11-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nn1suc.1 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜓))
nn1suc.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜒))
nn1suc.4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜃))
nn1suc.5 𝜓
nn1suc.6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒)
Assertion
Ref Expression
nn1suc (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)

Proof of Theorem nn1suc
StepHypRef Expression
1 nn1suc.5 . . . . 5 𝜓
2 1ex 9886 . . . . . 6 1 ∈ V
3 nn1suc.1 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜓))
42, 3sbcie 3431 . . . . 5 ([1 / 𝑥]𝜑𝜓)
51, 4mpbir 219 . . . 4 [1 / 𝑥]𝜑
6 1nn 10873 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
7 eleq1 2670 . . . . . . 7 (𝐴 = 1 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
86, 7mpbiri 246 . . . . . 6 (𝐴 = 1 → 𝐴 ∈ ℕ)
9 nn1suc.4 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜃))
109sbcieg 3429 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ([𝐴 / 𝑥]𝜑𝜃))
118, 10syl 17 . . . . 5 (𝐴 = 1 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑𝜃))
12 dfsbcq 3398 . . . . 5 (𝐴 = 1 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[1 / 𝑥]𝜑))
1311, 12bitr3d 268 . . . 4 (𝐴 = 1 → (𝜃[1 / 𝑥]𝜑))
145, 13mpbiri 246 . . 3 (𝐴 = 1 → 𝜃)
1514a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 → 𝜃))
16 ovex 6550 . . . . . 6 (𝑦 + 1) ∈ V
17 nn1suc.3 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜒))
1816, 17sbcie 3431 . . . . 5 ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑𝜒)
19 oveq1 6529 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐴 − 1) → (𝑦 + 1) = ((𝐴 − 1) + 1))
2019sbceq1d 3401 . . . . 5 (𝑦 = (𝐴 − 1) → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑[((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑))
2118, 20syl5bbr 272 . . . 4 (𝑦 = (𝐴 − 1) → (𝜒[((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑))
22 nn1suc.6 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒)
2321, 22vtoclga 3239 . . 3 ((𝐴 − 1) ∈ ℕ → [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑)
24 nncn 10870 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
25 ax-1cn 9845 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
26 npcan 10136 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
2724, 25, 26sylancl 692 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
2827sbceq1d 3401 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ([((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
2928, 10bitrd 266 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ([((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑𝜃))
3023, 29syl5ib 232 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) ∈ ℕ → 𝜃))
31 nn1m1nn 10882 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
3215, 30, 31mpjaod 394 1 (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194   = wceq 1474  wcel 1975  [wsbc 3396  (class class class)co 6522  cc 9785  1c1 9788   + caddc 9790  cmin 10112  cn 10862
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-er 7601  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-ltxr 9930  df-sub 10114  df-nn 10863
This theorem is referenced by:  opsqrlem6  28189
  Copyright terms: Public domain W3C validator