MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn1suc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn1suc 11253
Description: If a statement holds for 1 and also holds for a successor, it holds for all positive integers. The first three hypotheses give us the substitution instances we need; the last two show that it holds for 1 and for a successor. (Contributed by NM, 11-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nn1suc.1 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜓))
nn1suc.3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜒))
nn1suc.4 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜃))
nn1suc.5 𝜓
nn1suc.6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒)
Assertion
Ref Expression
nn1suc (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑦)   𝜃(𝑦)

Proof of Theorem nn1suc
StepHypRef Expression
1 nn1suc.5 . . . . 5 𝜓
2 1ex 10247 . . . . . 6 1 ∈ V
3 nn1suc.1 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜓))
42, 3sbcie 3611 . . . . 5 ([1 / 𝑥]𝜑𝜓)
51, 4mpbir 221 . . . 4 [1 / 𝑥]𝜑
6 1nn 11243 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
7 eleq1 2827 . . . . . . 7 (𝐴 = 1 → (𝐴 ∈ ℕ ↔ 1 ∈ ℕ))
86, 7mpbiri 248 . . . . . 6 (𝐴 = 1 → 𝐴 ∈ ℕ)
9 nn1suc.4 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝜑𝜃))
109sbcieg 3609 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → ([𝐴 / 𝑥]𝜑𝜃))
118, 10syl 17 . . . . 5 (𝐴 = 1 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑𝜃))
12 dfsbcq 3578 . . . . 5 (𝐴 = 1 → ([𝐴 / 𝑥]𝜑[1 / 𝑥]𝜑))
1311, 12bitr3d 270 . . . 4 (𝐴 = 1 → (𝜃[1 / 𝑥]𝜑))
145, 13mpbiri 248 . . 3 (𝐴 = 1 → 𝜃)
1514a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 → 𝜃))
16 ovex 6842 . . . . . 6 (𝑦 + 1) ∈ V
17 nn1suc.3 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝜑𝜒))
1816, 17sbcie 3611 . . . . 5 ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑𝜒)
19 oveq1 6821 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐴 − 1) → (𝑦 + 1) = ((𝐴 − 1) + 1))
2019sbceq1d 3581 . . . . 5 (𝑦 = (𝐴 − 1) → ([(𝑦 + 1) / 𝑥]𝜑[((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑))
2118, 20syl5bbr 274 . . . 4 (𝑦 = (𝐴 − 1) → (𝜒[((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑))
22 nn1suc.6 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → 𝜒)
2321, 22vtoclga 3412 . . 3 ((𝐴 − 1) ∈ ℕ → [((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑)
24 nncn 11240 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
25 ax-1cn 10206 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
26 npcan 10502 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
2724, 25, 26sylancl 697 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) + 1) = 𝐴)
2827sbceq1d 3581 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → ([((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑[𝐴 / 𝑥]𝜑))
2928, 10bitrd 268 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → ([((𝐴 − 1) + 1) / 𝑥]𝜑𝜃))
3023, 29syl5ib 234 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → ((𝐴 − 1) ∈ ℕ → 𝜃))
31 nn1m1nn 11252 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 = 1 ∨ (𝐴 − 1) ∈ ℕ))
3215, 30, 31mpjaod 395 1 (𝐴 ∈ ℕ → 𝜃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1632  wcel 2139  [wsbc 3576  (class class class)co 6814  cc 10146  1c1 10149   + caddc 10151  cmin 10478  cn 11232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-ltxr 10291  df-sub 10480  df-nn 11233
This theorem is referenced by:  opsqrlem6  29334
  Copyright terms: Public domain W3C validator