MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnasuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnasuc 7448
Description: Addition with successor. Theorem 4I(A2) of [Enderton] p. 79. (Contributed by NM, 20-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnasuc ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 suc 𝐵) = suc (𝐴 +𝑜 𝐵))

Proof of Theorem nnasuc
StepHypRef Expression
1 nnon 6838 . 2 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2 onasuc 7370 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 suc 𝐵) = suc (𝐴 +𝑜 𝐵))
31, 2sylan 486 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 suc 𝐵) = suc (𝐴 +𝑜 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  Oncon0 5530  suc csuc 5532  (class class class)co 6425  ωcom 6832   +𝑜 coa 7319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6722
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6833  df-wrecs 7168  df-recs 7230  df-rdg 7268  df-oadd 7326
This theorem is referenced by:  nna0r  7451  nnacl  7453  nnacom  7459  nnaordi  7460  nnawordi  7463  nnaass  7464  nndi  7465  nnmsucr  7467  nnawordex  7479  nneob  7494  omopthlem1  7497  ackbij1lem14  8813  ackbij1lem18  8817  hashgadd  12891  finxpreclem4  32239
  Copyright terms: Public domain W3C validator