MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnaword Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnaword 7469
Description: Weak ordering property of addition. (Contributed by NM, 17-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnaword ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 +𝑜 𝐴) ⊆ (𝐶 +𝑜 𝐵)))

Proof of Theorem nnaword
StepHypRef Expression
1 nnaord 7461 . . . 4 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐴)))
213com12 1260 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐴)))
32notbid 306 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (¬ 𝐵𝐴 ↔ ¬ (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐴)))
4 nnord 6840 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
5 nnord 6840 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
6 ordtri1 5563 . . . 4 ((Ord 𝐴 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
74, 5, 6syl2an 492 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
873adant3 1073 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
9 nnacl 7453 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ ω)
109ancoms 467 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ ω)
11103adant2 1072 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ ω)
12 nnacl 7453 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ ω)
1312ancoms 467 . . . 4 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ ω)
14133adant1 1071 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ ω)
15 nnord 6840 . . . 4 ((𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ ω → Ord (𝐶 +𝑜 𝐴))
16 nnord 6840 . . . 4 ((𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ ω → Ord (𝐶 +𝑜 𝐵))
17 ordtri1 5563 . . . 4 ((Ord (𝐶 +𝑜 𝐴) ∧ Ord (𝐶 +𝑜 𝐵)) → ((𝐶 +𝑜 𝐴) ⊆ (𝐶 +𝑜 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐴)))
1815, 16, 17syl2an 492 . . 3 (((𝐶 +𝑜 𝐴) ∈ ω ∧ (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ ω) → ((𝐶 +𝑜 𝐴) ⊆ (𝐶 +𝑜 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐴)))
1911, 14, 18syl2anc 690 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐶 +𝑜 𝐴) ⊆ (𝐶 +𝑜 𝐵) ↔ ¬ (𝐶 +𝑜 𝐵) ∈ (𝐶 +𝑜 𝐴)))
203, 8, 193bitr4d 298 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐶 +𝑜 𝐴) ⊆ (𝐶 +𝑜 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  w3a 1030  wcel 1938  wss 3444  Ord word 5529  (class class class)co 6425  ωcom 6832   +𝑜 coa 7319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6722
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6833  df-wrecs 7168  df-recs 7230  df-rdg 7268  df-oadd 7326
This theorem is referenced by:  nnacan  7470  nnaword1  7471
  Copyright terms: Public domain W3C validator