Theorem nncand 11004

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
nncand	⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		pncand.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		nncan 10917	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 − (𝐴 − 𝐵)) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7158  ℂcc 10537   − cmin 10872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-sub 10874

This theorem is referenced by:  moddiffl  13253  flmod  13256  ccatswrd  14032  o1dif  14988  fprodser  15305  fprodrev  15333  fallfacval3  15368  efaddlem  15448  4sqlem5  16280  mul4sqlem  16291  4sqlem14  16296  coe1tmmul2  20446  znunit  20712  blssps  23036  blss  23037  metdstri  23461  ivthlem3  24056  ioorcl2  24175  vitalilem2  24212  dvexp3  24577  dvcvx  24619  iblulm  24997  chordthmlem4  25415  heron  25418  cubic  25429  dquartlem1  25431  birthdaylem2  25532  lgamgulmlem2  25609  lgamcvg2  25634  ftalem2  25653  basellem3  25662  gausslemma2dlem1a  25943  lgsquadlem1  25958  addsqrexnreu  26020  pntrlog2bndlem4  26158  axsegconlem1  26705  lt2addrd  30477  ballotlemsf1o  31773  revpfxsfxrev  32364  swrdrevpfx  32365  bcprod  32972  fltnltalem  39281  fltnlta  39282  lzenom  39374  rmspecfund  39513  fzmaxdif  39585  jm2.18  39592  jm2.19  39597  jm2.20nn  39601  supxrgere  41608  lptre2pt  41928  ioodvbdlimc2lem  42226  dvnprodlem1  42238  dvnprodlem2  42239  fourierdlem4  42403  fourierdlem26  42425  fourierdlem42  42441  fourierdlem48  42446  fourierdlem65  42463  fouriersw  42523  sge0gtfsumgt  42732  meaiininclem  42775  fmtnorec2lem  43711  goldbachthlem2  43715  pw2m1lepw2m1  44582  eenglngeehlnmlem2  44732  itsclquadb  44770