MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nncand Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nncand 10245
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
nncand (𝜑 → (𝐴 − (𝐴𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 nncan 10158 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴𝐵)) = 𝐵)
41, 2, 3syl2anc 690 1 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴𝐵)) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6524  cc 9787  cmin 10114
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-ltxr 9932  df-sub 10116
This theorem is referenced by:  moddiffl  12495  flmod  12498  ccatswrd  13251  o1dif  14151  fprodser  14461  fprodrev  14489  fallfacval3  14525  efaddlem  14605  4sqlem5  15427  mul4sqlem  15438  4sqlem14  15443  coe1tmmul2  19410  znunit  19673  blssps  21977  blss  21978  metdstri  22390  ivthlem3  22943  ioorcl2  23060  vitalilem2  23098  dvexp3  23459  dvcvx  23501  iblulm  23879  chordthmlem4  24276  heron  24279  cubic  24290  dquartlem1  24292  birthdaylem2  24393  lgamgulmlem2  24470  lgamcvg2  24495  ftalem2  24514  basellem3  24523  gausslemma2dlem1a  24804  lgsquadlem1  24819  pntrlog2bndlem4  24983  axsegconlem1  25512  lt2addrd  28706  ballotlemsf1o  29705  bcprod  30680  lzenom  36151  rmspecfund  36292  fzmaxdif  36366  jm2.18  36373  jm2.19  36378  jm2.20nn  36382  supxrgere  38291  lptre2pt  38508  ioodvbdlimc2lem  38625  dvnprodlem1  38637  dvnprodlem2  38638  fourierdlem4  38805  fourierdlem26  38827  fourierdlem42  38843  fourierdlem48  38848  fourierdlem65  38865  fouriersw  38925  sge0gtfsumgt  39137  meaiininclem  39177  fmtnorec2lem  39794  goldbachthlem2  39798  pw2m1lepw2m1  42103
  Copyright terms: Public domain W3C validator