MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nncand Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nncand 10357
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pncand.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
nncand (𝜑 → (𝐴 − (𝐴𝐵)) = 𝐵)

Proof of Theorem nncand
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 pncand.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 nncan 10270 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝐴𝐵)) = 𝐵)
41, 2, 3syl2anc 692 1 (𝜑 → (𝐴 − (𝐴𝐵)) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6615  cc 9894  cmin 10226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-ltxr 10039  df-sub 10228
This theorem is referenced by:  moddiffl  12637  flmod  12640  ccatswrd  13410  o1dif  14310  fprodser  14623  fprodrev  14651  fallfacval3  14687  efaddlem  14767  4sqlem5  15589  mul4sqlem  15600  4sqlem14  15605  coe1tmmul2  19586  znunit  19852  blssps  22169  blss  22170  metdstri  22594  ivthlem3  23162  ioorcl2  23280  vitalilem2  23318  dvexp3  23679  dvcvx  23721  iblulm  24099  chordthmlem4  24496  heron  24499  cubic  24510  dquartlem1  24512  birthdaylem2  24613  lgamgulmlem2  24690  lgamcvg2  24715  ftalem2  24734  basellem3  24743  gausslemma2dlem1a  25024  lgsquadlem1  25039  pntrlog2bndlem4  25203  axsegconlem1  25731  lt2addrd  29399  ballotlemsf1o  30398  bcprod  31385  lzenom  36852  rmspecfund  36993  fzmaxdif  37067  jm2.18  37074  jm2.19  37079  jm2.20nn  37083  supxrgere  39048  lptre2pt  39308  ioodvbdlimc2lem  39486  dvnprodlem1  39498  dvnprodlem2  39499  fourierdlem4  39665  fourierdlem26  39687  fourierdlem42  39703  fourierdlem48  39708  fourierdlem65  39725  fouriersw  39785  sge0gtfsumgt  39997  meaiininclem  40037  fmtnorec2lem  40783  goldbachthlem2  40787  pw2m1lepw2m1  41628
  Copyright terms: Public domain W3C validator