MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nndivdvds 14913
Description: Strong form of dvdsval2 14910 for positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 13-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
nndivdvds ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nndivdvds
StepHypRef Expression
1 nnz 11343 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
21adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 nnne0 10997 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
43adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ≠ 0)
5 nnz 11343 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
65adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
7 dvdsval2 14910 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
82, 4, 6, 7syl3anc 1323 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ))
98anbi1d 740 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵𝐴 ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)) ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
10 nnre 10971 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
1110adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
12 nnre 10971 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
1312adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
14 nngt0 10993 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
1514adantr 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
16 nngt0 10993 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → 0 < 𝐵)
1716adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < 𝐵)
1811, 13, 15, 17divgt0d 10903 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
1918biantrud 528 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
20 elnnz 11331 . . 3 ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)))
2120a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ ↔ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵))))
229, 19, 213bitr4d 300 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐵𝐴 ↔ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880   < clt 10018   / cdiv 10628  cn 10964  cz 11321  cdvds 14907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-z 11322  df-dvds 14908
This theorem is referenced by:  nndivides  14914  dvdsdivcl  14962  divgcdnn  15160  lcmgcdlem  15243  isprm6  15350  divnumden  15380  hashgcdlem  15417  hashgcdeq  15418  oddprmdvds  15531  gexexlem  18176  ablfac1lem  18388  pgpfac1lem3a  18396  znrrg  19833  dvdsflf1o  24813  mersenne  24852  perfectlem1  24854  perfect  24856  dchrvmasumlem1  25084  dchrisum0flblem2  25098  logsqvma  25131  oddpwdc  30197  jm2.20nn  37044  jm2.27c  37054  fouriersw  39755  proththdlem  40829  perfectALTVlem1  40925  perfectALTV  40927
  Copyright terms: Public domain W3C validator