Theorem nndivre 11681

Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nndivre	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11647	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		nnne0 11674	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
3	1, 2	jca 514	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4		redivcl 11361	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1116	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 594	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  (class class class)co 7158  ℝcr 10538  0cc0 10539   / cdiv 11299  ℕcn 11640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641

This theorem is referenced by:  nnrecre  11682  nndivred  11694  fldiv2  13232  zmodcl  13262  iexpcyc  13572  sqrlem7  14610  expcnv  15221  ef01bndlem  15539  sin01bnd  15540  cos01bnd  15541  rpnnen2lem2  15570  rpnnen2lem3  15571  rpnnen2lem4  15572  rpnnen2lem9  15577  fldivp1  16235  ovoliunlem1  24105  dyadf  24194  dyadovol  24196  mbfi1fseqlem3  24320  mbfi1fseqlem4  24321  dveflem  24578  plyeq0lem  24802  tangtx  25093  tan4thpi  25102  root1id  25337  root1eq1  25338  root1cj  25339  cxpeq  25340  1cubrlem  25421  atan1  25508  log2tlbnd  25525  log2ublem1  25526  log2ublem2  25527  log2ub  25529  birthdaylem3  25533  birthday  25534  basellem5  25664  basellem8  25667  ppiub  25782  logfac2  25795  dchrptlem1  25842  dchrptlem2  25843  bposlem3  25864  bposlem4  25865  bposlem5  25866  bposlem6  25867  bposlem9  25870  vmadivsum  26060  dchrisum0lem1a  26064  dchrmusum2  26072  dchrvmasum2if  26075  dchrvmasumlem2  26076  dchrvmasumiflem1  26079  dchrvmasumiflem2  26080  dchrisum0re  26091  dchrisum0lem1b  26093  dchrisum0lem1  26094  dchrvmasumlem  26101  rplogsum  26105  mudivsum  26108  selberg2  26129  chpdifbndlem1  26131  selberg3lem1  26135  selbergr  26146  pntlemb  26175  pntlemg  26176  pntlemf  26183  snmlff  32578  sinccvglem  32917  circum  32919  poimirlem29  34923  poimirlem30  34924  poimirlem32  34926