MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nndivre 11000
Description: The quotient of a real and a positive integer is real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
nndivre ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nndivre
StepHypRef Expression
1 nnre 10971 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 nnne0 10997 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
31, 2jca 554 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0))
4 redivcl 10688 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
543expb 1263 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
63, 5sylan2 491 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1987  wne 2790  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880   / cdiv 10628  cn 10964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965
This theorem is referenced by:  nnrecre  11001  nndivred  11013  fldiv2  12600  zmodcl  12630  iexpcyc  12909  sqrlem7  13923  expcnv  14521  ef01bndlem  14839  sin01bnd  14840  cos01bnd  14841  rpnnen2lem2  14869  rpnnen2lem3  14870  rpnnen2lem4  14871  rpnnen2lem9  14876  fldivp1  15525  ovoliunlem1  23177  dyadf  23265  dyadovol  23267  mbfi1fseqlem3  23390  mbfi1fseqlem4  23391  dveflem  23646  plyeq0lem  23870  tangtx  24161  tan4thpi  24170  root1id  24395  root1eq1  24396  root1cj  24397  cxpeq  24398  1cubrlem  24468  atan1  24555  log2tlbnd  24572  log2ublem1  24573  log2ublem2  24574  log2ub  24576  birthdaylem3  24580  birthday  24581  basellem5  24711  basellem8  24714  ppiub  24829  logfac2  24842  dchrptlem1  24889  dchrptlem2  24890  bposlem3  24911  bposlem4  24912  bposlem5  24913  bposlem6  24914  bposlem9  24917  vmadivsum  25071  dchrisum0lem1a  25075  dchrmusum2  25083  dchrvmasum2if  25086  dchrvmasumlem2  25087  dchrvmasumiflem1  25090  dchrvmasumiflem2  25091  dchrisum0re  25102  dchrisum0lem1b  25104  dchrisum0lem1  25105  dchrvmasumlem  25112  rplogsum  25116  mudivsum  25119  selberg2  25140  chpdifbndlem1  25142  selberg3lem1  25146  selbergr  25157  pntlemb  25186  pntlemg  25187  pntlemf  25194  snmlff  31016  sinccvglem  31271  circum  31273  poimirlem29  33067  poimirlem30  33068  poimirlem32  33070
  Copyright terms: Public domain W3C validator