MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nndivtr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nndivtr 11672
Description: Transitive property of divisibility: if 𝐴 divides 𝐵 and 𝐵 divides 𝐶, then 𝐴 divides 𝐶. Typically, 𝐶 would be an integer, although the theorem holds for complex 𝐶. (Contributed by NM, 3-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
nndivtr (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nndivtr
StepHypRef Expression
1 nnmulcl 11649 . . 3 (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℕ) → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐵)) ∈ ℕ)
2 nncn 11634 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
323ad2ant2 1126 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
4 simp3 1130 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
5 nncn 11634 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℂ)
6 nnne0 11659 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
75, 6jca 512 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
873ad2ant1 1125 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
9 nnne0 11659 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ≠ 0)
102, 9jca 512 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
11103ad2ant2 1126 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
12 divmul24 11332 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))) → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐵)) = ((𝐵 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐴)))
133, 4, 8, 11, 12syl22anc 834 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐵)) = ((𝐵 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐴)))
142, 9dividd 11402 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → (𝐵 / 𝐵) = 1)
1514oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → ((𝐵 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐴)) = (1 · (𝐶 / 𝐴)))
16153ad2ant2 1126 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 / 𝐵) · (𝐶 / 𝐴)) = (1 · (𝐶 / 𝐴)))
17 divcl 11292 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℂ)
18173expb 1112 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℂ)
197, 18sylan2 592 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℂ)
2019ancoms 459 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℂ)
2120mulid2d 10647 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (1 · (𝐶 / 𝐴)) = (𝐶 / 𝐴))
22213adant2 1123 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (1 · (𝐶 / 𝐴)) = (𝐶 / 𝐴))
2313, 16, 223eqtrd 2857 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐵)) = (𝐶 / 𝐴))
2423eleq1d 2894 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐵 / 𝐴) · (𝐶 / 𝐵)) ∈ ℕ ↔ (𝐶 / 𝐴) ∈ ℕ))
251, 24syl5ib 245 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℕ) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℕ))
2625imp 407 1 (((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ ((𝐵 / 𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℕ)) → (𝐶 / 𝐴) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530   / cdiv 11285  cn 11626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627
This theorem is referenced by:  permnn  13674  infpnlem1  16234
  Copyright terms: Public domain W3C validator