MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnenom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnenom 12599
Description: The set of positive integers (as a subset of complex numbers) is equinumerous to omega (the set of finite ordinal numbers). (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
nnenom ℕ ≈ ω

Proof of Theorem nnenom
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 8401 . . 3 ω ∈ V
2 nn0ex 11148 . . 3 0 ∈ V
3 eqid 2609 . . . 4 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω)
43hashgf1o 12590 . . 3 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0
5 f1oen2g 7836 . . 3 ((ω ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V ∧ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 0) ↾ ω):ω–1-1-onto→ℕ0) → ω ≈ ℕ0)
61, 2, 4, 5mp3an 1415 . 2 ω ≈ ℕ0
7 nn0ennn 12598 . 2 0 ≈ ℕ
86, 7entr2i 7875 1 ℕ ≈ ω
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1976  Vcvv 3172   class class class wbr 4577  cmpt 4637  cres 5030  1-1-ontowf1o 5789  (class class class)co 6527  ωcom 6935  reccrdg 7370  cen 7816  0cc0 9793  1c1 9794   + caddc 9796  cn 10870  0cn0 11142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523
This theorem is referenced by:  nnct  12600  supcvg  14376  xpnnen  14727  znnen  14729  qnnen  14730  rexpen  14745  aleph1re  14762  aleph1irr  14763  bitsf1  14955  unben  15400  odinf  17752  odhash  17761  cygctb  18065  1stcfb  21006  2ndcredom  21011  1stcelcls  21022  hauspwdom  21062  met1stc  22084  met2ndci  22085  re2ndc  22360  iscmet3  22844  ovolctb2  23012  ovolfi  23014  ovoliunlem3  23024  iunmbl2  23077  uniiccdif  23097  dyadmbl  23119  opnmblALT  23122  mbfimaopnlem  23173  itg2seq  23260  aannenlem3  23834  dirith2  24962  nmounbseqi  26850  nmobndseqi  26852  minvecolem5  26955  padct  28719  f1ocnt  28780  dmvlsiga  29353  sigapildsys  29386  volmeas  29455  omssubadd  29523  carsgclctunlem3  29543  poimirlem30  32433  poimirlem32  32435  mblfinlem1  32440  ovoliunnfl  32445  heiborlem3  32606  heibor  32614  lzenom  36175  fiphp3d  36225  irrapx1  36234  pellex  36241  nnfoctb  38062  zenom  38068  qenom  38342  ioonct  38435  subsaliuncl  39076  caragenunicl  39238  caratheodory  39242  ovnsubaddlem2  39285
  Copyright terms: Public domain W3C validator