Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nneo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nneo 11446
 Description: A positive integer is even or odd but not both. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nneo (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nneo
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nncn 11013 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2 peano2cn 10193 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
4 2cn 11076 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
54a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
6 2ne0 11098 . . . . . 6 2 ≠ 0
76a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ≠ 0)
83, 5, 7divcan2d 10788 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = (𝑁 + 1))
91, 5, 7divcan2d 10788 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (𝑁 / 2)) = 𝑁)
109oveq1d 6650 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 · (𝑁 / 2)) + 1) = (𝑁 + 1))
118, 10eqtr4d 2657 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
12 nnz 11384 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
13 nnz 11384 . . . . . 6 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℤ)
14 zneo 11445 . . . . . 6 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℤ) → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
1512, 13, 14syl2an 494 . . . . 5 ((((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 / 2) ∈ ℕ) → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1))
1615expcom 451 . . . 4 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (2 · ((𝑁 + 1) / 2)) ≠ ((2 · (𝑁 / 2)) + 1)))
1716necon2bd 2807 . . 3 ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → ((2 · ((𝑁 + 1) / 2)) = ((2 · (𝑁 / 2)) + 1) → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
1811, 17syl5com 31 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ → ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
19 oveq1 6642 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 → (𝑗 + 1) = (1 + 1))
2019oveq1d 6650 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((1 + 1) / 2))
2120eleq1d 2684 . . . . 5 (𝑗 = 1 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((1 + 1) / 2) ∈ ℕ))
22 oveq1 6642 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → (𝑗 / 2) = (1 / 2))
2322eleq1d 2684 . . . . 5 (𝑗 = 1 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (1 / 2) ∈ ℕ))
2421, 23orbi12d 745 . . . 4 (𝑗 = 1 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((1 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (1 / 2) ∈ ℕ)))
25 oveq1 6642 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 + 1) = (𝑘 + 1))
2625oveq1d 6650 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((𝑘 + 1) / 2))
2726eleq1d 2684 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
28 oveq1 6642 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝑗 / 2) = (𝑘 / 2))
2928eleq1d 2684 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑘 / 2) ∈ ℕ))
3027, 29orbi12d 745 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ)))
31 oveq1 6642 . . . . . . 7 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 + 1) + 1))
3231oveq1d 6650 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗 + 1) / 2) = (((𝑘 + 1) + 1) / 2))
3332eleq1d 2684 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ))
34 oveq1 6642 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑗 / 2) = ((𝑘 + 1) / 2))
3534eleq1d 2684 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
3633, 35orbi12d 745 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ)))
37 oveq1 6642 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 + 1) = (𝑁 + 1))
3837oveq1d 6650 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 + 1) / 2) = ((𝑁 + 1) / 2))
3938eleq1d 2684 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
40 oveq1 6642 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝑗 / 2) = (𝑁 / 2))
4140eleq1d 2684 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((𝑗 / 2) ∈ ℕ ↔ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
4239, 41orbi12d 745 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → ((((𝑗 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑗 / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) ∈ ℕ)))
43 df-2 11064 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
4443oveq1i 6645 . . . . . . 7 (2 / 2) = ((1 + 1) / 2)
45 2div2e1 11135 . . . . . . 7 (2 / 2) = 1
4644, 45eqtr3i 2644 . . . . . 6 ((1 + 1) / 2) = 1
47 1nn 11016 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
4846, 47eqeltri 2695 . . . . 5 ((1 + 1) / 2) ∈ ℕ
4948orci 405 . . . 4 (((1 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (1 / 2) ∈ ℕ)
50 peano2nn 11017 . . . . . . 7 ((𝑘 / 2) ∈ ℕ → ((𝑘 / 2) + 1) ∈ ℕ)
51 nncn 11013 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ → 𝑘 ∈ ℂ)
52 add1p1 11268 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 1) + 1) = (𝑘 + 2))
5352oveq1d 6650 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℂ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 + 2) / 2))
54 2cnne0 11227 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
55 divdir 10695 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + (2 / 2)))
564, 54, 55mp3an23 1414 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + (2 / 2)))
5745oveq2i 6646 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 / 2) + (2 / 2)) = ((𝑘 / 2) + 1)
5856, 57syl6eq 2670 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℂ → ((𝑘 + 2) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
5953, 58eqtrd 2654 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℂ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
6051, 59syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) = ((𝑘 / 2) + 1))
6160eleq1d 2684 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((𝑘 / 2) + 1) ∈ ℕ))
6250, 61syl5ibr 236 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑘 / 2) ∈ ℕ → (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ))
6362orim2d 884 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → (((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ)))
64 orcom 402 . . . . 5 ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ) ↔ ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ))
6563, 64syl6ib 241 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ → ((((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑘 / 2) ∈ ℕ) → ((((𝑘 + 1) + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ ((𝑘 + 1) / 2) ∈ ℕ)))
6624, 30, 36, 42, 49, 65nnind 11023 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ ∨ (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
6766ord 392 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ → (𝑁 / 2) ∈ ℕ))
6818, 67impbid 202 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 / 2) ∈ ℕ ↔ ¬ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1481   ∈ wcel 1988   ≠ wne 2791  (class class class)co 6635  ℂcc 9919  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926   / cdiv 10669  ℕcn 11005  2c2 11055  ℤcz 11362 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-n0 11278  df-z 11363 This theorem is referenced by:  nneoi  11447  zeo  11448  ovolunlem1a  23245  ovolunlem1  23246  nneop  42085  nnolog2flm1  42149
 Copyright terms: Public domain W3C validator