Theorem nnfi 8705

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem nnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onfin2 8704	. . 3 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
2		inss2 4206	. . 3 ⊢ (On ∩ Fin) ⊆ Fin
3	1, 2	eqsstri 4001	. 2 ⊢ ω ⊆ Fin
4	3	sseli 3963	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3935  Oncon0 6186  ωcom 7574  Fincfn 8503

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-om 7575  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507

This theorem is referenced by:  cardnn  9386  en2eqpr  9427  en2eleq  9428  infxpenlem  9433  dfac12k  9567  pwsdompw  9620  ackbij2lem1  9635  ackbij1lem3  9638  ackbij1lem5  9640  ackbij1lem14  9649  ackbij1b  9655  fin23lem23  9742  fin23lem22  9743  domtriomlem  9858  gchdju1  10072  gch2  10091  omina  10107  hashgval2  13733  hashdom  13734  hashp1i  13758  hash1snb  13774  hash2pr  13821  pr2pwpr  13831  hash3tr  13842  xpsfrnel  16829  symggen  18592  psgnunilem1  18615  lt6abl  19009  simpgnsgd  19216  znfld  20701  frgpcyg  20714  xpsmet  22986  xpsxms  23138  xpsms  23139  isppw  25685  unidifsnel  30289  unidifsnne  30290  finxpreclem4  34669  harinf  39624  frlmpwfi  39691  infordmin  39892