MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nngt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nngt0 11241
Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
nngt0 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0
StepHypRef Expression
1 nnre 11219 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2 nnge1 11238 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3 0lt1 10742 . . 3 0 < 1
4 0re 10232 . . . 4 0 ∈ ℝ
5 1re 10231 . . . 4 1 ∈ ℝ
6 ltletr 10321 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
74, 5, 6mp3an12 1563 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
83, 7mpani 714 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
91, 2, 8sylc 65 1 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  wcel 2139   class class class wbr 4804  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   < clt 10266  cle 10267  cn 11212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213
This theorem is referenced by:  nnnle0  11243  nngt0i  11246  nnsub  11251  nngt0d  11256  nnrecl  11482  nn0ge0  11510  0mnnnnn0  11517  elnnnn0b  11529  nn0sub  11535  elnnz  11579  nnm1ge0  11637  gtndiv  11646  rpnnen1lem2  12007  rpnnen1lem1  12008  rpnnen1lem3  12009  rpnnen1lem5  12011  rpnnen1lem1OLD  12014  rpnnen1lem3OLD  12015  rpnnen1lem5OLD  12017  nnrp  12035  nnledivrp  12133  qbtwnre  12223  fzo1fzo0n0  12713  ubmelfzo  12727  elfznelfzo  12767  adddivflid  12813  flltdivnn0lt  12828  quoremz  12848  quoremnn0ALT  12850  intfracq  12852  fldiv  12853  expnnval  13057  nnlesq  13162  facdiv  13268  faclbnd  13271  bc0k  13292  ccatval21sw  13557  harmonic  14790  nndivdvds  15191  evennn2n  15277  nnoddm1d2  15304  ndvdssub  15335  ndvdsadd  15336  sqgcd  15480  lcmgcdlem  15521  qredeu  15574  isprm5  15621  divdenle  15659  hashgcdlem  15695  oddprm  15717  pythagtriplem12  15733  pythagtriplem13  15734  pythagtriplem14  15735  pythagtriplem16  15737  pythagtriplem19  15740  pc2dvds  15785  fldivp1  15803  prmreclem3  15824  prmgaplem7  15963  mulgnn  17748  mulgnegnn  17752  odmodnn0  18159  prmirredlem  20043  znidomb  20112  fvmptnn04if  20856  chfacfscmul0  20865  chfacfpmmul0  20869  dyadss  23562  volivth  23575  vitali  23581  mbfi1fseqlem3  23683  itg2gt0  23726  dgrcolem2  24229  logtayllem  24604  leibpi  24868  eldmgm  24947  basellem6  25011  muinv  25118  logfac2  25141  bcmono  25201  bposlem5  25212  bposlem6  25213  lgsval4a  25243  gausslemma2dlem1a  25289  ostth2lem1  25506  ostth2lem3  25523  clwwlkf1  27178  clwwlknonccat  27244  minvecolem3  28041  tgoldbachgtda  31048  subfaclim  31477  subfacval3  31478  snmlff  31618  nn0prpwlem  32623  nndivsub  32762  nndivlub  32763  poimirlem32  33754  fzmul  33850  irrapxlem1  37888  irrapxlem2  37889  pellexlem1  37895  monotoddzzfi  38009  rmynn  38025  jm2.24nn  38028  jm2.17c  38031  congabseq  38043  jm2.20nn  38066  rmydioph  38083  dgrsub2  38207  idomrootle  38275  rp-isfinite6  38366  stoweidlem17  40737  stoweidlem49  40769  wallispilem4  40788  stirlinglem6  40799  stirlinglem7  40800  stirlinglem10  40803  fourierdlem73  40899  fourierdlem111  40937  2ffzoeq  41848  iccpartltu  41871  ccats1pfxeqrex  41932  fmtnosqrt  41961  2pwp1prm  42013
  Copyright terms: Public domain W3C validator