MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nngt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nngt0 11657
Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
nngt0 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0
StepHypRef Expression
1 nnre 11634 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2 nnge1 11654 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3 0lt1 11151 . . 3 0 < 1
4 0re 10632 . . . 4 0 ∈ ℝ
5 1re 10630 . . . 4 1 ∈ ℝ
6 ltletr 10721 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
74, 5, 6mp3an12 1442 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
83, 7mpani 692 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
91, 2, 8sylc 65 1 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105   class class class wbr 5058  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   < clt 10664  cle 10665  cn 11627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628
This theorem is referenced by:  nnnle0  11659  nngt0i  11665  nnsub  11670  nngt0d  11675  nnrecl  11884  nn0ge0  11911  0mnnnnn0  11918  elnnnn0b  11930  nn0sub  11936  elnnz  11980  nnm1ge0  12039  gtndiv  12048  elpq  12364  elpqb  12365  rpnnen1lem2  12366  rpnnen1lem1  12367  rpnnen1lem3  12368  rpnnen1lem5  12370  nnrp  12390  nnledivrp  12491  qbtwnre  12582  fzo1fzo0n0  13078  ubmelfzo  13092  elfznelfzo  13132  adddivflid  13178  flltdivnn0lt  13193  quoremz  13213  quoremnn0ALT  13215  intfracq  13217  fldiv  13218  expnnval  13422  nnlesq  13558  expnngt1  13592  faclbnd  13640  bc0k  13661  ccatval21sw  13929  ccats1pfxeqrex  14067  harmonic  15204  nndivdvds  15606  evennn2n  15690  nnoddm1d2  15727  ndvdssub  15750  ndvdsadd  15751  sqgcd  15899  lcmgcdlem  15940  qredeu  15992  isprm5  16041  divdenle  16079  hashgcdlem  16115  oddprm  16137  pythagtriplem12  16153  pythagtriplem13  16154  pythagtriplem14  16155  pythagtriplem16  16157  pythagtriplem19  16160  pc2dvds  16205  fldivp1  16223  prmreclem3  16244  prmgaplem7  16383  mulgnn  18172  mulgnegnn  18178  odmodnn0  18599  prmirredlem  20570  znidomb  20638  fvmptnn04if  21387  chfacfscmul0  21396  chfacfpmmul0  21400  dyadss  24124  volivth  24137  vitali  24143  mbfi1fseqlem3  24247  itg2gt0  24290  dgrcolem2  24793  logtayllem  25169  leibpi  25448  eldmgm  25527  basellem6  25591  muinv  25698  logfac2  25721  bcmono  25781  bposlem5  25792  bposlem6  25793  lgsval4a  25823  gausslemma2dlem1a  25869  ostth2lem1  26122  ostth2lem3  26139  clwwlkf1  27756  clwwlknonccat  27803  minvecolem3  28581  xnn0gt0  30421  tgoldbachgtda  31832  subfaclim  32333  subfacval3  32334  snmlff  32474  nn0prpwlem  33568  nndivsub  33703  nndivlub  33704  poimirlem32  34806  fzmul  34899  negn0nposznnd  39048  nn0rppwr  39062  nn0expgcd  39064  irrapxlem1  39299  irrapxlem2  39300  pellexlem1  39306  monotoddzzfi  39419  rmynn  39433  jm2.24nn  39436  jm2.17c  39439  congabseq  39451  jm2.20nn  39474  rmydioph  39491  dgrsub2  39615  idomrootle  39675  rp-isfinite6  39764  stoweidlem17  42183  stoweidlem49  42215  wallispilem4  42234  stirlinglem6  42245  stirlinglem7  42246  stirlinglem10  42249  fourierdlem73  42345  fourierdlem111  42383  2ffzoeq  43409  iccpartltu  43432  fmtnosqrt  43548  2pwp1prm  43598  nneven  43710
  Copyright terms: Public domain W3C validator