MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nngt0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nngt0 10893
Description: A positive integer is positive. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)
Assertion
Ref Expression
nngt0 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0
StepHypRef Expression
1 nnre 10871 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2 nnge1 10890 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
3 0lt1 10396 . . 3 0 < 1
4 0re 9893 . . . 4 0 ∈ ℝ
5 1re 9892 . . . 4 1 ∈ ℝ
6 ltletr 9977 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
74, 5, 6mp3an12 1405 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
83, 7mpani 707 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < 𝐴))
91, 2, 8sylc 62 1 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1976   class class class wbr 4574  cr 9788  0cc0 9789  1c1 9790   < clt 9927  cle 9928  cn 10864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865
This theorem is referenced by:  nnnle0  10895  nngt0i  10898  nnsub  10903  nngt0d  10908  nnrecl  11134  nn0ge0  11162  0mnnnnn0  11169  elnnnn0b  11181  nn0sub  11187  elnnz  11217  nnm1ge0  11274  gtndiv  11283  rpnnen1lem2  11643  rpnnen1lem1  11644  rpnnen1lem3  11645  rpnnen1lem5  11647  rpnnen1lem1OLD  11650  rpnnen1lem3OLD  11651  rpnnen1lem5OLD  11653  nnrp  11671  nnledivrp  11769  qbtwnre  11860  fzo1fzo0n0  12338  ubmelfzo  12352  elfznelfzo  12391  adddivflid  12433  flltdivnn0lt  12448  quoremz  12468  quoremnn0ALT  12470  intfracq  12472  fldiv  12473  expnnval  12677  nnlesq  12782  facdiv  12888  faclbnd  12891  bc0k  12912  harmonic  14373  nndivdvds  14770  evennn2n  14856  nnoddm1d2  14883  ndvdssub  14914  ndvdsadd  14915  sqgcd  15059  lcmgcdlem  15100  qredeu  15153  isprm5  15200  divdenle  15238  hashgcdlem  15274  oddprm  15296  pythagtriplem12  15312  pythagtriplem13  15313  pythagtriplem14  15314  pythagtriplem16  15316  pythagtriplem19  15319  pc2dvds  15364  fldivp1  15382  prmreclem3  15403  prmgaplem7  15542  mulgnn  17313  mulgnegnn  17317  odmodnn0  17725  prmirredlem  19602  znidomb  19671  fvmptnn04if  20412  chfacfscmul0  20421  chfacfpmmul0  20425  dyadss  23082  volivth  23095  vitali  23102  mbfi1fseqlem3  23204  itg2gt0  23247  dgrcolem2  23748  logtayllem  24119  leibpi  24383  eldmgm  24462  basellem6  24526  muinv  24633  logfac2  24656  bcmono  24716  bposlem5  24727  bposlem6  24728  lgsval4a  24758  gausslemma2dlem1a  24804  ostth2lem1  25021  ostth2lem3  25038  clwwlkf1  26087  rusgra0edg  26245  minvecolem3  26919  subfaclim  30227  subfacval3  30228  snmlff  30368  nn0prpwlem  31290  nndivsub  31429  nndivlub  31430  poimirlem32  32411  fzmul  32507  irrapxlem1  36204  irrapxlem2  36205  pellexlem1  36211  monotoddzzfi  36325  rmynn  36341  jm2.24nn  36344  jm2.17c  36347  congabseq  36359  jm2.20nn  36382  rmydioph  36399  dgrsub2  36524  idomrootle  36592  rp-isfinite6  36683  stoweidlem17  38711  stoweidlem49  38743  wallispilem4  38762  stirlinglem6  38773  stirlinglem7  38774  stirlinglem10  38777  fourierdlem73  38873  fourierdlem111  38911  iccpartltu  39765  fmtnosqrt  39791  2pwp1prm  39843  ccats1pfxeqrex  40087  2ffzoeq  40185  clwwlksf1  41223
  Copyright terms: Public domain W3C validator