MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nngt0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nngt0d 10913
Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nngt0d (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nngt0 10898 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → 0 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976   class class class wbr 4577  0cc0 9792   < clt 9930  cn 10869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870
This theorem is referenced by:  expmulnbnd  12815  faclbnd5  12904  facubnd  12906  harmonic  14378  efcllem  14595  ege2le3  14607  eftlub  14626  eflegeo  14638  eirrlem  14719  bitsfzo  14943  sqgcd  15064  prmind2  15184  nprm  15187  isprm5  15205  divdenle  15243  qnumgt0  15244  hashdvds  15266  odzdvds  15286  pythagtriplem11  15316  pythagtriplem13  15318  pythagtriplem19  15324  pcadd  15379  pcfaclem  15388  qexpz  15391  pockthlem  15395  pockthg  15396  prmreclem1  15406  prmreclem5  15410  4sqlem12  15446  4sqlem14  15448  4sqlem16  15450  vdwlem3  15473  vdwlem9  15479  psgnunilem3  17687  pgpfaclem2  18252  fvmptnn04ifd  20424  lebnumii  22520  dyadf  23109  dyadovol  23111  dyaddisjlem  23113  dyadmaxlem  23115  opnmbllem  23119  mbfi1fseqlem1  23232  mbfi1fseqlem4  23235  mbfi1fseqlem5  23236  mbfi1fseqlem6  23237  itg2gt0  23277  itg2cnlem2  23279  dgrcolem2  23778  leibpi  24413  log2tlbnd  24416  birthdaylem3  24424  amgm  24461  emcllem2  24467  harmonicbnd4  24481  lgamgulmlem1  24499  basellem1  24551  basellem4  24554  basellem6  24556  dvdsflf1o  24657  fsumfldivdiaglem  24659  fsumvma2  24683  chpchtsum  24688  perfectlem2  24699  bposlem1  24753  bposlem2  24754  bposlem6  24758  lgsqrlem4  24818  lgseisenlem1  24844  lgsquadlem1  24849  lgsquadlem2  24850  2sqlem8  24895  chebbnd1lem3  24904  rplogsumlem1  24917  rplogsumlem2  24918  rpvmasumlem  24920  dchrisumlema  24921  dchrisumlem1  24922  dchrisumlem3  24924  dchrisum0flblem2  24942  dchrisum0re  24946  logdivbnd  24989  pntpbnd1a  25018  pntpbnd1  25019  ostth2lem2  25067  ostth2lem3  25068  numclwwlkovf2ex  26406  minvecolem4  26913  eulerpartlemgc  29544  subfaclim  30217  cvmliftlem2  30315  cvmliftlem6  30319  cvmliftlem7  30320  cvmliftlem8  30321  cvmliftlem9  30322  cvmliftlem10  30323  cvmliftlem13  30325  knoppndvlem18  31483  knoppndvlem19  31484  knoppndvlem21  31486  poimirlem12  32374  poimirlem14  32376  poimirlem22  32384  opnmbllem0  32398  mblfinlem2  32400  irrapxlem4  36190  irrapxlem5  36191  pellexlem2  36195  pellexlem6  36199  rmxypos  36315  jm2.17b  36329  jm2.17c  36330  jm2.27a  36373  jm2.27c  36375  jm3.1lem1  36385  jm3.1lem2  36386  jm3.1lem3  36387  relexpxpmin  36811  hashnzfz2  37325  sumnnodd  38480  stoweidlem1  38677  stoweidlem11  38687  stoweidlem26  38702  stoweidlem38  38714  stoweidlem42  38718  stoweidlem44  38720  stoweidlem51  38727  stoweidlem59  38735  stirlinglem3  38752  stirlinglem15  38764  dirkertrigeqlem3  38776  dirkercncflem2  38780  fourierdlem11  38794  fourierdlem14  38797  fourierdlem20  38803  fourierdlem25  38808  fourierdlem37  38820  fourierdlem41  38824  fourierdlem48  38830  fourierdlem64  38846  fourierdlem73  38855  fourierdlem79  38861  fourierdlem93  38875  etransclem35  38945  etransclem48  38958  qndenserrnbllem  38973  hoiqssbllem1  39295  hoiqssbllem2  39296  lighneallem4a  39847  proththdlem  39852  crctcsh  41008  av-numclwwlkovf2ex  41498  ztprmneprm  41899  expnegico01  42083  dignnld  42176
  Copyright terms: Public domain W3C validator