MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nngt0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nngt0d 11102
Description: A positive integer is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nngt0d (𝜑 → 0 < 𝐴)

Proof of Theorem nngt0d
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nngt0 11087 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → 0 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2030   class class class wbr 4685  0cc0 9974   < clt 10112  cn 11058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059
This theorem is referenced by:  expmulnbnd  13036  faclbnd5  13125  facubnd  13127  harmonic  14635  efcllem  14852  ege2le3  14864  eftlub  14883  eflegeo  14895  eirrlem  14976  bitsfzo  15204  sqgcd  15325  prmind2  15445  nprm  15448  isprm5  15466  divdenle  15504  qnumgt0  15505  hashdvds  15527  odzdvds  15547  pythagtriplem11  15577  pythagtriplem13  15579  pythagtriplem19  15585  pcadd  15640  pcfaclem  15649  qexpz  15652  pockthlem  15656  pockthg  15657  prmreclem1  15667  prmreclem5  15671  4sqlem12  15707  4sqlem14  15709  4sqlem16  15711  vdwlem3  15734  vdwlem9  15740  psgnunilem3  17962  pgpfaclem2  18527  fvmptnn04ifd  20706  lebnumii  22812  dyadf  23405  dyadovol  23407  dyaddisjlem  23409  dyadmaxlem  23411  opnmbllem  23415  mbfi1fseqlem1  23527  mbfi1fseqlem4  23530  mbfi1fseqlem5  23531  mbfi1fseqlem6  23532  itg2gt0  23572  itg2cnlem2  23574  dgrcolem2  24075  leibpi  24714  log2tlbnd  24717  birthdaylem3  24725  amgm  24762  emcllem2  24768  harmonicbnd4  24782  lgamgulmlem1  24800  basellem1  24852  basellem4  24855  basellem6  24857  dvdsflf1o  24958  fsumfldivdiaglem  24960  fsumvma2  24984  chpchtsum  24989  perfectlem2  25000  bposlem1  25054  bposlem2  25055  bposlem6  25059  lgsqrlem4  25119  lgseisenlem1  25145  lgsquadlem1  25150  lgsquadlem2  25151  2sqlem8  25196  chebbnd1lem3  25205  rplogsumlem1  25218  rplogsumlem2  25219  rpvmasumlem  25221  dchrisumlema  25222  dchrisumlem1  25223  dchrisumlem3  25225  dchrisum0flblem2  25243  dchrisum0re  25247  logdivbnd  25290  pntpbnd1a  25319  pntpbnd1  25320  ostth2lem2  25368  ostth2lem3  25369  crctcsh  26772  clwwlknonex2  27084  minvecolem4  27864  eulerpartlemgc  30552  subfaclim  31296  cvmliftlem2  31394  cvmliftlem6  31398  cvmliftlem7  31399  cvmliftlem8  31400  cvmliftlem9  31401  cvmliftlem10  31402  cvmliftlem13  31404  knoppndvlem18  32645  knoppndvlem19  32646  knoppndvlem21  32648  poimirlem12  33551  poimirlem14  33553  poimirlem22  33561  opnmbllem0  33575  mblfinlem2  33577  irrapxlem4  37706  irrapxlem5  37707  pellexlem2  37711  pellexlem6  37715  rmxypos  37831  jm2.17b  37845  jm2.17c  37846  jm2.27a  37889  jm2.27c  37891  jm3.1lem1  37901  jm3.1lem2  37902  jm3.1lem3  37903  relexpxpmin  38326  hashnzfz2  38837  sumnnodd  40180  stoweidlem1  40536  stoweidlem11  40546  stoweidlem26  40561  stoweidlem38  40573  stoweidlem42  40577  stoweidlem44  40579  stoweidlem51  40586  stoweidlem59  40594  stirlinglem3  40611  stirlinglem15  40623  dirkertrigeqlem3  40635  dirkercncflem2  40639  fourierdlem11  40653  fourierdlem14  40656  fourierdlem20  40662  fourierdlem25  40667  fourierdlem37  40679  fourierdlem41  40683  fourierdlem48  40689  fourierdlem64  40705  fourierdlem73  40714  fourierdlem79  40720  fourierdlem93  40734  etransclem35  40804  etransclem48  40817  qndenserrnbllem  40832  hoiqssbllem1  41157  hoiqssbllem2  41158  lighneallem4a  41850  proththdlem  41855  ztprmneprm  42450  expnegico01  42633  dignnld  42722
  Copyright terms: Public domain W3C validator