Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnlog2ge0lt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnlog2ge0lt1 41652
Description: A positive integer is 1 iff its binary logarithm is between 0 and 1. (Contributed by AV, 30-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnlog2ge0lt1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ↔ (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1)))

Proof of Theorem nnlog2ge0lt1
StepHypRef Expression
1 0le0 11054 . . . . 5 0 ≤ 0
2 2cn 11035 . . . . . 6 2 ∈ ℂ
3 2ne0 11057 . . . . . 6 2 ≠ 0
4 1ne2 11184 . . . . . . 7 1 ≠ 2
54necomi 2844 . . . . . 6 2 ≠ 1
6 logb1 24407 . . . . . 6 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 1) = 0)
72, 3, 5, 6mp3an 1421 . . . . 5 (2 logb 1) = 0
81, 7breqtrri 4640 . . . 4 0 ≤ (2 logb 1)
9 0lt1 10494 . . . . 5 0 < 1
107, 9eqbrtri 4634 . . . 4 (2 logb 1) < 1
118, 10pm3.2i 471 . . 3 (0 ≤ (2 logb 1) ∧ (2 logb 1) < 1)
12 oveq2 6612 . . . . 5 (𝑁 = 1 → (2 logb 𝑁) = (2 logb 1))
1312breq2d 4625 . . . 4 (𝑁 = 1 → (0 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 0 ≤ (2 logb 1)))
1412breq1d 4623 . . . 4 (𝑁 = 1 → ((2 logb 𝑁) < 1 ↔ (2 logb 1) < 1))
1513, 14anbi12d 746 . . 3 (𝑁 = 1 → ((0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1) ↔ (0 ≤ (2 logb 1) ∧ (2 logb 1) < 1)))
1611, 15mpbiri 248 . 2 (𝑁 = 1 → (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1))
17 2z 11353 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
18 uzid 11646 . . . . . . 7 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . 6 2 ∈ (ℤ‘2)
2019a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ (ℤ‘2))
21 nnrp 11786 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
22 logbge0b 41649 . . . . 5 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ 𝑁))
2320, 21, 22syl2anc 692 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 1 ≤ 𝑁))
24 logblt1b 41650 . . . . 5 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((2 logb 𝑁) < 1 ↔ 𝑁 < 2))
2520, 21, 24syl2anc 692 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((2 logb 𝑁) < 1 ↔ 𝑁 < 2))
2623, 25anbi12d 746 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1) ↔ (1 ≤ 𝑁𝑁 < 2)))
27 df-2 11023 . . . . . . . 8 2 = (1 + 1)
2827breq2i 4621 . . . . . . 7 (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 < (1 + 1))
2928a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 < (1 + 1)))
3029anbi2d 739 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 ≤ 𝑁𝑁 < 2) ↔ (1 ≤ 𝑁𝑁 < (1 + 1))))
31 nnre 10971 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
32 1zzd 11352 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℤ)
33 flbi 12557 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((⌊‘𝑁) = 1 ↔ (1 ≤ 𝑁𝑁 < (1 + 1))))
3431, 32, 33syl2anc 692 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘𝑁) = 1 ↔ (1 ≤ 𝑁𝑁 < (1 + 1))))
3530, 34bitr4d 271 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 ≤ 𝑁𝑁 < 2) ↔ (⌊‘𝑁) = 1))
36 nnz 11343 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
37 flid 12549 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
3836, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (⌊‘𝑁) = 𝑁)
3938eqcomd 2627 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = (⌊‘𝑁))
4039adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (⌊‘𝑁) = 1) → 𝑁 = (⌊‘𝑁))
41 simpr 477 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (⌊‘𝑁) = 1) → (⌊‘𝑁) = 1)
4240, 41eqtrd 2655 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (⌊‘𝑁) = 1) → 𝑁 = 1)
4342ex 450 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((⌊‘𝑁) = 1 → 𝑁 = 1))
4435, 43sylbid 230 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 ≤ 𝑁𝑁 < 2) → 𝑁 = 1))
4526, 44sylbid 230 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1) → 𝑁 = 1))
4616, 45impbid2 216 1 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 = 1 ↔ (0 ≤ (2 logb 𝑁) ∧ (2 logb 𝑁) < 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883   < clt 10018  cle 10019  cn 10964  2c2 11014  cz 11321  cuz 11631  +crp 11776  cfl 12531   logb clogb 24402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-limc 23536  df-dv 23537  df-log 24207  df-logb 24403
This theorem is referenced by:  blen1b  41674
  Copyright terms: Public domain W3C validator