MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnm2 7817
Description: Multiply an element of ω by 2𝑜. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnm2 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 2𝑜) = (𝐴 +𝑜 𝐴))

Proof of Theorem nnm2
StepHypRef Expression
1 df-2o 7649 . . 3 2𝑜 = suc 1𝑜
21oveq2i 6744 . 2 (𝐴 ·𝑜 2𝑜) = (𝐴 ·𝑜 suc 1𝑜)
3 1onn 7807 . . . 4 1𝑜 ∈ ω
4 nnmsuc 7775 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 1𝑜 ∈ ω) → (𝐴 ·𝑜 suc 1𝑜) = ((𝐴 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 𝐴))
53, 4mpan2 709 . . 3 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 suc 1𝑜) = ((𝐴 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 𝐴))
6 nnm1 7816 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 1𝑜) = 𝐴)
76oveq1d 6748 . . 3 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 ·𝑜 1𝑜) +𝑜 𝐴) = (𝐴 +𝑜 𝐴))
85, 7eqtrd 2726 . 2 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 suc 1𝑜) = (𝐴 +𝑜 𝐴))
92, 8syl5eq 2738 1 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ·𝑜 2𝑜) = (𝐴 +𝑜 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1564  wcel 2071  suc csuc 5806  (class class class)co 6733  ωcom 7150  1𝑜c1o 7641  2𝑜c2o 7642   +𝑜 coa 7645   ·𝑜 comu 7646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1818  ax-5 1920  ax-6 1986  ax-7 2022  ax-8 2073  ax-9 2080  ax-10 2100  ax-11 2115  ax-12 2128  ax-13 2323  ax-ext 2672  ax-sep 4857  ax-nul 4865  ax-pow 4916  ax-pr 4979  ax-un 7034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1567  df-ex 1786  df-nf 1791  df-sb 1979  df-eu 2543  df-mo 2544  df-clab 2679  df-cleq 2685  df-clel 2688  df-nfc 2823  df-ne 2865  df-ral 2987  df-rex 2988  df-reu 2989  df-rab 2991  df-v 3274  df-sbc 3510  df-csb 3608  df-dif 3651  df-un 3653  df-in 3655  df-ss 3662  df-pss 3664  df-nul 3992  df-if 4163  df-pw 4236  df-sn 4254  df-pr 4256  df-tp 4258  df-op 4260  df-uni 4513  df-iun 4598  df-br 4729  df-opab 4789  df-mpt 4806  df-tr 4829  df-id 5096  df-eprel 5101  df-po 5107  df-so 5108  df-fr 5145  df-we 5147  df-xp 5192  df-rel 5193  df-cnv 5194  df-co 5195  df-dm 5196  df-rn 5197  df-res 5198  df-ima 5199  df-pred 5761  df-ord 5807  df-on 5808  df-lim 5809  df-suc 5810  df-iota 5932  df-fun 5971  df-fn 5972  df-f 5973  df-f1 5974  df-fo 5975  df-f1o 5976  df-fv 5977  df-ov 6736  df-oprab 6737  df-mpt2 6738  df-om 7151  df-wrecs 7495  df-recs 7556  df-rdg 7594  df-1o 7648  df-2o 7649  df-oadd 7652  df-omul 7653
This theorem is referenced by:  nn2m  7818  omopthlem1  7823  omopthlem2  7824
  Copyright terms: Public domain W3C validator