MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmcan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnmcan 7481
Description: Cancellation law for multiplication of natural numbers. (Contributed by NM, 26-Oct-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnmcan (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))

Proof of Theorem nnmcan
StepHypRef Expression
1 3anrot 1035 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
2 nnmword 7480 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐴 ·𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐶)))
31, 2sylanb 487 . . . 4 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐵𝐶 ↔ (𝐴 ·𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐶)))
4 3anrev 1041 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ↔ (𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω))
5 nnmword 7480 . . . . 5 (((𝐶 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐶𝐵 ↔ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐵)))
64, 5sylanb 487 . . . 4 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (𝐶𝐵 ↔ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐵)))
73, 6anbi12d 742 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐵𝐶𝐶𝐵) ↔ ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ∧ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐵))))
87bicomd 211 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → (((𝐴 ·𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ∧ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐵)) ↔ (𝐵𝐶𝐶𝐵)))
9 eqss 3487 . 2 ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) ↔ ((𝐴 ·𝑜 𝐵) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ∧ (𝐴 ·𝑜 𝐶) ⊆ (𝐴 ·𝑜 𝐵)))
10 eqss 3487 . 2 (𝐵 = 𝐶 ↔ (𝐵𝐶𝐶𝐵))
118, 9, 103bitr4g 301 1 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ ∅ ∈ 𝐴) → ((𝐴 ·𝑜 𝐵) = (𝐴 ·𝑜 𝐶) ↔ 𝐵 = 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1938  wss 3444  c0 3777  (class class class)co 6431  ωcom 6838   ·𝑜 comu 7325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6728
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5658  df-fun 5696  df-fn 5697  df-f 5698  df-f1 5699  df-fo 5700  df-f1o 5701  df-fv 5702  df-ov 6434  df-oprab 6435  df-mpt2 6436  df-om 6839  df-1st 6939  df-2nd 6940  df-wrecs 7174  df-recs 7235  df-rdg 7273  df-oadd 7331  df-omul 7332
This theorem is referenced by:  mulcanpi  9481
  Copyright terms: Public domain W3C validator