MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnmulcli Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnmulcli 11029
Description: Closure of multiplication of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nnmulcli.1 𝐴 ∈ ℕ
nnmulcli.2 𝐵 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
nnmulcli (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ

Proof of Theorem nnmulcli
StepHypRef Expression
1 nnmulcli.1 . 2 𝐴 ∈ ℕ
2 nnmulcli.2 . 2 𝐵 ∈ ℕ
3 nnmulcl 11028 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
41, 2, 3mp2an 707 1 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 1988  (class class class)co 6635   · cmul 9926  cn 11005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-om 7051  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-nn 11006
This theorem is referenced by:  numnncl2  11509  ef01bndlem  14895  pockthi  15592  dec5nprm  15751  dec2nprm  15752  log2ublem1  24654  log2ublem2  24655  log2ub  24657  bclbnd  24986  bposlem8  24997  lgsdir2lem5  25035  ex-lcm  27285  bgoldbachlt  41466  tgblthelfgott  41468  tgoldbachlt  41469  bgoldbachltOLD  41472  tgblthelfgottOLD  41474  tgoldbachltOLD  41475
  Copyright terms: Public domain W3C validator