MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnne0d 10914
Description: A positive integer is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnne0d (𝜑𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0d
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnne0 10902 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
31, 2syl 17 1 (𝜑𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  wne 2779  0cc0 9792  cn 10869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-riota 6488  df-ov 6529  df-oprab 6530  df-mpt2 6531  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10870
This theorem is referenced by:  eluz2n0  11562  facne0  12892  bcn1  12919  bcm1k  12921  bcp1n  12922  bcp1nk  12923  bcval5  12924  bcpasc  12927  hashf1  13052  trireciplem  14381  trirecip  14382  geo2sum  14391  geo2lim  14393  mertenslem1  14403  fallfacval4  14561  bcfallfac  14562  bpolycl  14570  bpolysum  14571  bpolydiflem  14572  fsumkthpow  14574  efcllem  14595  ege2le3  14607  efcj  14609  efaddlem  14610  eftlub  14626  eirrlem  14719  ruclem7  14752  sqr2irrlem  14764  bitsp1  14939  bitscmp  14946  sadcp1  14963  sadaddlem  14974  bitsres  14981  bitsuz  14982  bitsshft  14983  smupp1  14988  gcdnncl  15015  gcdeq0  15024  mulgcd  15051  sqgcd  15064  lcmeq0  15099  lcmgcdlem  15105  lcmfeq0b  15129  lcmfunsnlem2lem1  15137  lcmfunsnlem2lem2  15138  divgcdcoprm0  15165  prmind2  15184  isprm5  15205  divgcdodd  15208  qmuldeneqnum  15241  divnumden  15242  numdensq  15248  hashdvds  15266  phiprmpw  15267  pythagtriplem4  15310  pythagtriplem19  15324  pcprendvds2  15332  pcpremul  15334  pceulem  15336  pcdiv  15343  pcqmul  15344  pc2dvds  15369  dvdsprmpweqle  15376  pcaddlem  15378  pcadd  15379  pcmpt2  15383  pcmptdvds  15384  pcbc  15390  expnprm  15392  prmpwdvds  15394  pockthlem  15395  prmreclem1  15406  prmreclem3  15408  prmreclem4  15409  4sqlem5  15432  4sqlem8  15435  4sqlem9  15436  4sqlem10  15437  mul4sqlem  15443  4sqlem12  15446  4sqlem14  15448  4sqlem15  15449  4sqlem16  15450  4sqlem17  15451  prmone0  15525  oddvds  17737  sylow1lem1  17784  sylow1lem4  17787  sylow1lem5  17788  sylow2blem3  17808  sylow3lem3  17815  sylow3lem4  17816  gexexlem  18026  ablfacrplem  18235  ablfacrp2  18237  ablfac1lem  18238  ablfac1b  18240  ablfac1eu  18243  pgpfac1lem3a  18246  pgpfac1lem3  18247  prmirredlem  19607  znrrg  19680  fvmptnn04ifa  20421  chfacfscmulgsum  20431  chfacfpmmulgsum  20435  lebnumlem3  22517  lebnumii  22520  ovollb2lem  23007  uniioombllem4  23104  dyadovol  23111  dyaddisjlem  23113  opnmbllem  23119  mbfi1fseqlem3  23234  mbfi1fseqlem4  23235  mbfi1fseqlem5  23236  mbfi1fseqlem6  23237  tdeglem4  23568  dgrcolem1  23777  dgrcolem2  23778  dvply1  23787  vieta1lem1  23813  vieta1lem2  23814  elqaalem2  23823  elqaalem3  23824  aalioulem1  23835  aalioulem2  23836  aaliou3lem9  23853  taylfvallem1  23859  tayl0  23864  taylply2  23870  taylply  23871  dvtaylp  23872  taylthlem2  23876  pserdvlem2  23930  advlogexp  24145  cxpmul2  24179  cxpeq  24242  atantayl3  24410  leibpi  24413  log2cnv  24415  log2tlbnd  24416  birthdaylem2  24423  birthdaylem3  24424  amgmlem  24460  amgm  24461  emcllem2  24467  emcllem5  24470  fsumharmonic  24482  zetacvg  24485  dmgmdivn0  24498  lgamgulmlem2  24500  lgamgulmlem3  24501  lgamgulmlem4  24502  lgamgulmlem5  24503  lgamgulmlem6  24504  lgamgulm2  24506  lgamcvg2  24525  gamcvg  24526  gamcvg2lem  24529  ftalem2  24544  ftalem4  24546  ftalem5  24547  basellem1  24551  basellem2  24552  basellem4  24554  basellem5  24555  basellem8  24558  sgmval2  24613  efchtdvds  24629  ppieq0  24646  fsumdvdsdiaglem  24653  dvdsflf1o  24657  muinv  24663  dvdsmulf1o  24664  chpchtsum  24688  logfaclbnd  24691  logexprlim  24694  mersenne  24696  perfectlem2  24699  perfect  24700  dchrabs  24729  bcmono  24746  bclbnd  24749  bposlem1  24753  bposlem2  24754  bposlem3  24755  bposlem6  24758  lgsval2lem  24776  lgsqr  24820  lgseisenlem4  24847  lgsquadlem1  24849  lgsquadlem2  24850  lgsquad2lem1  24853  2sqlem3  24889  2sqlem8  24895  chebbnd1  24905  rplogsumlem2  24918  rpvmasumlem  24920  dchrisumlem1  24922  dchrmusum2  24927  dchrvmasumlem1  24928  dchrvmasum2lem  24929  dchrvmasum2if  24930  dchrvmasumlem3  24932  dchrvmasumiflem1  24934  dchrisum0flblem2  24942  mulogsumlem  24964  mulogsum  24965  mulog2sumlem2  24968  vmalogdivsum2  24971  vmalogdivsum  24972  logsqvma  24975  selberglem3  24980  selberg  24981  logdivbnd  24989  selberg3lem1  24990  selberg4lem1  24993  pntrsumo1  24998  selberg3r  25002  selberg4r  25003  selberg34r  25004  pntsval2  25009  pntrlog2bndlem2  25011  pntrlog2bndlem3  25012  pntrlog2bndlem5  25014  pntrlog2bndlem6  25016  pntpbnd1a  25018  pntpbnd1  25019  pntpbnd2  25020  padicabvf  25064  padicabvcxp  25065  ostth2  25070  ostth3  25071  bcm1n  28734  numdenneg  28743  2sqmod  28772  qqhf  29151  qqhghm  29153  qqhrhm  29154  qqhre  29185  oddpwdc  29536  signshnz  29787  subfacval2  30216  subfaclim  30217  cvmliftlem7  30320  cvmliftlem10  30323  cvmliftlem11  30324  cvmliftlem13  30325  bcprod  30670  iprodgam  30674  faclimlem1  30675  faclim2  30680  nn0prpwlem  31280  knoppndvlem16  31481  poimirlem17  32379  poimirlem20  32382  poimirlem23  32385  opnmbllem0  32398  irrapxlem4  36190  irrapxlem5  36191  pellexlem2  36195  pellexlem6  36199  jm2.27c  36375  itgpowd  36602  hashnzfzclim  37326  bcccl  37343  bccp1k  37345  bccm1k  37346  binomcxplemwb  37352  binomcxplemrat  37354  binomcxplemfrat  37355  mccllem  38447  clim1fr1  38451  dvnxpaek  38615  dvnprodlem2  38620  itgsinexp  38629  stoweidlem1  38677  stoweidlem11  38687  stoweidlem25  38701  stoweidlem26  38702  stoweidlem37  38713  stoweidlem38  38714  stoweidlem42  38718  stoweidlem51  38727  wallispilem4  38744  wallispilem5  38745  wallispi2lem1  38747  wallispi2lem2  38748  wallispi2  38749  stirlinglem4  38753  stirlinglem5  38754  stirlinglem12  38761  stirlinglem13  38762  sqwvfourb  38905  etransclem15  38925  etransclem20  38930  etransclem21  38931  etransclem22  38932  etransclem23  38933  etransclem24  38934  etransclem25  38935  etransclem31  38941  etransclem32  38942  etransclem33  38943  etransclem34  38944  etransclem35  38945  etransclem38  38948  etransclem41  38951  etransclem44  38954  etransclem45  38955  etransclem47  38957  etransclem48  38958  ovolval5lem1  39325  ovolval5lem2  39326  lighneallem4b  39848  divgcdoddALTV  39915  perfectALTVlem2  39949  perfectALTV  39950  expnegico01  42083  fllogbd  42133  digexp  42180  amgmlemALT  42300
  Copyright terms: Public domain W3C validator