Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnpw2pmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnpw2pmod 41685
Description: Every positive integer can be represented as the sum of a power of 2 and a "remainder" smaller than the power. (Contributed by AV, 31-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnpw2pmod (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1)))))

Proof of Theorem nnpw2pmod
StepHypRef Expression
1 nnre 10974 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2 2nn 11132 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
4 blennnelnn 41678 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) ∈ ℕ)
5 nnm1nn0 11281 . . . . . . . 8 ((#b𝑁) ∈ ℕ → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((#b𝑁) − 1) ∈ ℕ0)
73, 6nnexpcld 12973 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℕ)
87nnrpd 11817 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ+)
9 modeqmodmin 12683 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))) = ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) mod (2↑((#b𝑁) − 1))))
101, 8, 9syl2anc 692 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))) = ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) mod (2↑((#b𝑁) − 1))))
117nnred 10982 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ)
121, 11resubcld 10405 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ∈ ℝ)
13 nnpw2blen 41682 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ 𝑁𝑁 < (2↑(#b𝑁))))
141, 11subge0d 10564 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ↔ (2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ 𝑁))
151, 11, 11ltsubadd2d 10572 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) < (2↑((#b𝑁) − 1)) ↔ 𝑁 < ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (2↑((#b𝑁) − 1)))))
16 2cn 11038 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
17 exp1 12809 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℂ → (2↑1) = 2)
1817eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ → 2 = (2↑1))
1916, 18mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 2 = (2↑1))
2019oveq1d 6622 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑((#b𝑁) − 1))) = ((2↑1) · (2↑((#b𝑁) − 1))))
217nncnd 10983 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℂ)
22212timesd 11222 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (2 · (2↑((#b𝑁) − 1))) = ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (2↑((#b𝑁) − 1))))
2316a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
24 1nn0 11255 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℕ0
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
2623, 6, 25expaddd 12953 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(1 + ((#b𝑁) − 1))) = ((2↑1) · (2↑((#b𝑁) − 1))))
27 1cnd 10003 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
284nncnd 10983 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (#b𝑁) ∈ ℂ)
2927, 28pncan3d 10342 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + ((#b𝑁) − 1)) = (#b𝑁))
3029oveq2d 6623 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (2↑(1 + ((#b𝑁) − 1))) = (2↑(#b𝑁)))
3126, 30eqtr3d 2657 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑1) · (2↑((#b𝑁) − 1))) = (2↑(#b𝑁)))
3220, 22, 313eqtr3d 2663 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (2↑((#b𝑁) − 1))) = (2↑(#b𝑁)))
3332breq2d 4627 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 < ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (2↑((#b𝑁) − 1))) ↔ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))))
3415, 33bitrd 268 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) < (2↑((#b𝑁) − 1)) ↔ 𝑁 < (2↑(#b𝑁))))
3514, 34anbi12d 746 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) < (2↑((#b𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b𝑁) − 1)) ≤ 𝑁𝑁 < (2↑(#b𝑁)))))
3613, 35mpbird 247 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) < (2↑((#b𝑁) − 1))))
37 modid 12638 . . . . 5 ((((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ∈ ℝ ∧ (2↑((#b𝑁) − 1)) ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) ∧ (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) < (2↑((#b𝑁) − 1)))) → ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) mod (2↑((#b𝑁) − 1))) = (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))))
3812, 8, 36, 37syl21anc 1322 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) mod (2↑((#b𝑁) − 1))) = (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))))
3910, 38eqtr2d 2656 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) = (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))))
40 nncn 10975 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
41 nnz 11346 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
4241, 7zmodcld 12634 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))) ∈ ℕ0)
4342nn0cnd 11300 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))) ∈ ℂ)
4440, 21, 43subaddd 10357 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − (2↑((#b𝑁) − 1))) = (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1))) ↔ ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1)))) = 𝑁))
4539, 44mpbid 222 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1)))) = 𝑁)
4645eqcomd 2627 1 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((2↑((#b𝑁) − 1)) + (𝑁 mod (2↑((#b𝑁) − 1)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4615  cfv 5849  (class class class)co 6607  cc 9881  cr 9882  0cc0 9883  1c1 9884   + caddc 9886   · cmul 9888   < clt 10021  cle 10022  cmin 10213  cn 10967  2c2 11017  0cn0 11239  +crp 11779   mod cmo 12611  cexp 12803  #bcblen 41671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-inf2 8485  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-pre-sup 9961  ax-addf 9962  ax-mulf 9963
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-iin 4490  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-se 5036  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-isom 5858  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7244  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-2o 7509  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-pm 7808  df-ixp 7856  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-fsupp 8223  df-fi 8264  df-sup 8295  df-inf 8296  df-oi 8362  df-card 8712  df-cda 8937  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-7 11031  df-8 11032  df-9 11033  df-n0 11240  df-z 11325  df-dec 11441  df-uz 11635  df-q 11736  df-rp 11780  df-xneg 11893  df-xadd 11894  df-xmul 11895  df-ioo 12124  df-ioc 12125  df-ico 12126  df-icc 12127  df-fz 12272  df-fzo 12410  df-fl 12536  df-mod 12612  df-seq 12745  df-exp 12804  df-fac 13004  df-bc 13033  df-hash 13061  df-shft 13744  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778  df-sqrt 13912  df-abs 13913  df-limsup 14139  df-clim 14156  df-rlim 14157  df-sum 14354  df-ef 14726  df-sin 14728  df-cos 14729  df-pi 14731  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-starv 15880  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-ip 15883  df-tset 15884  df-ple 15885  df-ds 15888  df-unif 15889  df-hom 15890  df-cco 15891  df-rest 16007  df-topn 16008  df-0g 16026  df-gsum 16027  df-topgen 16028  df-pt 16029  df-prds 16032  df-xrs 16086  df-qtop 16091  df-imas 16092  df-xps 16094  df-mre 16170  df-mrc 16171  df-acs 16173  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-submnd 17260  df-mulg 17465  df-cntz 17674  df-cmn 18119  df-psmet 19660  df-xmet 19661  df-met 19662  df-bl 19663  df-mopn 19664  df-fbas 19665  df-fg 19666  df-cnfld 19669  df-top 20621  df-topon 20638  df-topsp 20651  df-bases 20664  df-cld 20736  df-ntr 20737  df-cls 20738  df-nei 20815  df-lp 20853  df-perf 20854  df-cn 20944  df-cnp 20945  df-haus 21032  df-tx 21278  df-hmeo 21471  df-fil 21563  df-fm 21655  df-flim 21656  df-flf 21657  df-xms 22038  df-ms 22039  df-tms 22040  df-cncf 22594  df-limc 23543  df-dv 23544  df-log 24214  df-cxp 24215  df-logb 24410  df-blen 41672
This theorem is referenced by:  nnpw2p  41688
  Copyright terms: Public domain W3C validator