MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnre 11634
Description: A positive integer is a real number. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
nnre (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnre
StepHypRef Expression
1 nnssre 11631 . 2 ℕ ⊆ ℝ
21sseli 3962 1 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  cr 10525  cn 11627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7148  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-nn 11628
This theorem is referenced by:  nnrei  11636  nnmulcl  11650  nn2ge  11653  nnge1  11654  nngt1ne1  11655  nnle1eq1  11656  nngt0  11657  nnnlt1  11658  nnnle0  11659  nndivre  11667  nnrecgt0  11669  nnsub  11670  nnunb  11882  arch  11883  nnrecl  11884  bndndx  11885  0mnnnnn0  11918  nnnegz  11973  elnnz  11980  elz2  11988  nnssz  11991  gtndiv  12048  prime  12052  btwnz  12073  indstr  12305  qre  12342  elpq  12364  elpqb  12365  rpnnen1lem2  12366  rpnnen1lem1  12367  rpnnen1lem3  12368  rpnnen1lem5  12370  nnrp  12390  nnledivrp  12491  qbtwnre  12582  elfzo0le  13071  fzonmapblen  13073  fzo1fzo0n0  13078  ubmelfzo  13092  fzonn0p1p1  13106  ubmelm1fzo  13123  subfzo0  13149  adddivflid  13178  flltdivnn0lt  13193  quoremz  13213  quoremnn0ALT  13215  intfracq  13217  fldiv  13218  modmulnn  13247  m1modnnsub1  13275  addmodid  13277  modifeq2int  13291  modaddmodup  13292  modaddmodlo  13293  modfzo0difsn  13301  modsumfzodifsn  13302  addmodlteq  13304  nnlesq  13558  digit2  13587  digit1  13588  expnngt1  13592  facdiv  13637  facndiv  13638  faclbnd  13640  faclbnd3  13642  faclbnd4lem4  13646  faclbnd5  13648  bcval5  13668  seqcoll  13812  ccatval21sw  13929  cshwidxmod  14155  cshwidxm1  14159  repswcshw  14164  isercolllem1  15011  harmonic  15204  efaddlem  15436  rpnnen2lem9  15565  rpnnen2lem12  15568  sqrt2irr  15592  nndivdvds  15606  dvdsle  15650  fzm1ndvds  15662  nno  15723  nnoddm1d2  15727  divalg2  15746  divalgmod  15747  ndvdsadd  15751  modgcd  15870  gcdmultipleOLD  15890  gcdmultiplezOLD  15891  gcdzeq  15892  sqgcd  15899  dvdssqlem  15900  lcmgcdlem  15940  lcmf  15967  coprmgcdb  15983  qredeq  15991  qredeu  15992  isprm3  16017  ge2nprmge4  16035  prmdvdsfz  16039  isprm5  16041  ncoprmlnprm  16058  divdenle  16079  phibndlem  16097  eulerthlem2  16109  hashgcdlem  16115  oddprm  16137  pythagtriplem10  16147  pythagtriplem12  16153  pythagtriplem14  16155  pythagtriplem16  16157  pythagtriplem19  16160  pclem  16165  pc2dvds  16205  pcmpt  16218  fldivp1  16223  pcbc  16226  infpnlem1  16236  infpn2  16239  prmreclem1  16242  prmreclem3  16244  vdwlem3  16309  ram0  16348  prmgaplem4  16380  prmgaplem7  16383  cshwshashlem1  16419  cshwshashlem2  16420  setsstruct2  16511  mulgnegnn  18178  mulgmodid  18206  odmodnn0  18599  gexdvds  18640  sylow3lem6  18688  prmirredlem  20570  znidomb  20638  chfacfisf  21392  chfacfisfcpmat  21393  chfacffsupp  21394  chfacfscmul0  21396  chfacfpmmul0  21400  ovolunlem1a  24026  ovoliunlem2  24033  ovolicc2lem3  24049  ovolicc2lem4  24050  iundisj2  24079  dyadss  24124  volsup2  24135  volivth  24137  vitali  24143  ismbf3d  24184  mbfi1fseqlem3  24247  mbfi1fseqlem4  24248  mbfi1fseqlem5  24249  itg2seq  24272  itg2gt0  24290  itg2cnlem1  24291  plyeq0lem  24729  dgreq0  24784  dgrcolem2  24793  elqaalem2  24838  elqaalem3  24839  logtayllem  25169  leibpi  25448  birthdaylem3  25459  zetacvg  25520  eldmgm  25527  basellem1  25586  basellem2  25587  basellem3  25588  basellem6  25591  basellem9  25594  prmorcht  25683  dvdsflsumcom  25693  muinv  25698  vmalelog  25709  chtublem  25715  logfac2  25721  logfaclbnd  25726  pcbcctr  25780  bcmono  25781  bposlem1  25788  bposlem5  25792  bposlem6  25793  bpos  25797  lgsval4a  25823  gausslemma2dlem0c  25862  gausslemma2dlem0d  25863  gausslemma2dlem1a  25869  gausslemma2dlem2  25871  gausslemma2dlem3  25872  gausslemma2dlem5  25875  lgsquadlem1  25884  lgsquadlem2  25885  2lgslem1a1  25893  2sqreunnlem1  25953  2sqreunnltlem  25954  dchrisum0re  26017  dchrisum0lem1  26020  logdivbnd  26060  ostth2lem1  26122  ostth2lem3  26139  pthdlem2lem  27476  crctcshwlkn0lem1  27516  crctcshwlkn0lem3  27518  crctcshwlkn0lem4  27519  crctcshwlkn0lem5  27520  crctcshwlkn0lem6  27521  crctcshwlkn0lem7  27522  crctcshwlkn0  27527  clwlkclwwlkf1lem2  27711  clwwisshclwwslem  27720  clwwlkel  27753  clwwlkf  27754  clwwlkf1  27756  wwlksext2clwwlk  27764  wwlksubclwwlk  27765  eucrctshift  27950  eucrct2eupth  27952  numclwlk2lem2f  28084  nmounbseqi  28482  nmounbseqiALT  28483  nmobndseqi  28484  nmobndseqiALT  28485  ubthlem1  28575  minvecolem3  28581  lnconi  29738  iundisj2f  30269  nnmulge  30401  xrsmulgzz  30593  esumpmono  31238  eulerpartlemb  31526  fibp1  31559  subfaclim  32333  subfacval3  32334  snmlff  32474  fz0n  32860  bcprod  32868  nn0prpwlem  33568  nn0prpw  33569  nndivsub  33703  nndivlub  33704  knoppcnlem2  33731  knoppcnlem4  33733  knoppcnlem10  33739  knoppndvlem11  33759  knoppndvlem12  33760  knoppndvlem14  33762  poimirlem13  34787  poimirlem14  34788  poimirlem31  34805  poimirlem32  34806  mblfinlem2  34812  fzmul  34899  incsequz  34906  nnubfi  34908  nninfnub  34909  nnadddir  39043  nnmul1com  39044  nn0rppwr  39062  nn0expgcd  39064  irrapxlem1  39299  irrapxlem2  39300  pellexlem1  39306  pellexlem5  39310  pellqrex  39356  monotoddzzfi  39419  jm2.24nn  39436  congabseq  39451  acongrep  39457  acongeq  39460  expdiophlem1  39498  idomrootle  39675  idomodle  39676  relexpmulnn  39934  prmunb2  40523  hashnzfzclim  40534  fmuldfeq  41744  sumnnodd  41791  stoweidlem14  42180  stoweidlem17  42183  stoweidlem20  42186  stoweidlem49  42215  stoweidlem60  42226  wallispilem3  42233  wallispilem4  42234  wallispilem5  42235  wallispi  42236  wallispi2lem1  42237  wallispi2lem2  42238  stirlinglem1  42240  stirlinglem3  42242  stirlinglem4  42243  stirlinglem6  42245  stirlinglem7  42246  stirlinglem10  42249  stirlinglem11  42250  stirlinglem12  42251  stirlinglem13  42252  stirlingr  42256  dirker2re  42258  dirkerval2  42260  dirkerre  42261  dirkertrigeqlem1  42264  fourierdlem66  42338  fourierdlem73  42345  fourierdlem83  42355  fourierdlem87  42359  fourierdlem103  42375  fourierdlem104  42376  fourierdlem111  42383  fouriersw  42397  etransclem24  42424  sge0rpcpnf  42584  hoicvr  42711  hoicvrrex  42719  vonioolem2  42844  vonicclem2  42847  subsubelfzo0  43407  fmtnodvds  43553  2pwp1prm  43598  lighneallem2  43618  nn0oALTV  43708  nneven  43710  nnsum4primes4  43801  nnsum4primesprm  43803  nnsum4primesgbe  43805  nnsum4primesle9  43807  bgoldbachlt  43825  tgoldbach  43829  altgsumbcALT  44299  modn0mul  44478  m1modmmod  44479  difmodm1lt  44480  nnlog2ge0lt1  44524  logbpw2m1  44525  blennn  44533  blennnelnn  44534  nnpw2pmod  44541  nnolog2flm1  44548  digvalnn0  44557  dignn0fr  44559  dignn0ldlem  44560  dignnld  44561  dig2nn1st  44563
  Copyright terms: Public domain W3C validator