Theorem nnrecre 10904

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrecre	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 9895	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		nndivre 10903	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 701	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1976  (class class class)co 6527  ℝcr 9791  1c1 9793   / cdiv 10533  ℕcn 10867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868

This theorem is referenced by:  nnrecred  10913  rpnnen1lem5  11650  rpnnen1lem5OLD  11656  fldiv  12476  supcvg  14373  harmonic  14376  rpnnen2lem11  14738  flodddiv4  14921  prmreclem4  15407  prmreclem5  15408  prmreclem6  15409  prmrec  15410  met1stc  22077  pcoass  22563  bcthlem4  22849  vitali  23105  ismbf3d  23144  itg2seq  23232  itg2gt0  23250  plyeq0lem  23687  logtayllem  24122  cxproot  24153  cxpeq  24215  quartlem3  24303  leibpi  24386  emcllem4  24442  emcllem6  24444  basellem6  24529  mulogsumlem  24937  pntpbnd2  24993  ipasslem4  26879  ipasslem5  26880  minvecolem5  26927  subfaclim  30230  faclim  30691  poimirlem29  32404  poimirlem30  32405  xrralrecnnle  38340  xrralrecnnge  38351  iooiinicc  38413  iooiinioc  38427  stirlinglem1  38764  iinhoiicclem  39361  iunhoiioolem  39363  iccvonmbllem  39366  vonioolem1  39368  vonioolem2  39369  vonicclem1  39371  vonicclem2  39372  preimageiingt  39404  preimaleiinlt  39405  salpreimagtge  39408  salpreimaltle  39409  issmfltle  39419  smflimlem6  39459