MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrecre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnrecre 11667
Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
nnrecre (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecre
StepHypRef Expression
1 1re 10629 . 2 1 ∈ ℝ
2 nndivre 11666 . 2 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
31, 2mpan 686 1 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  (class class class)co 7145  cr 10524  1c1 10526   / cdiv 11285  cn 11626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627
This theorem is referenced by:  nnrecred  11676  rpnnen1lem5  12368  fldiv  13216  supcvg  15199  harmonic  15202  rpnnen2lem11  15565  flodddiv4  15752  prmreclem4  16243  prmreclem5  16244  prmreclem6  16245  prmrec  16246  met1stc  23058  pcoass  23555  bcthlem4  23857  vitali  24141  ismbf3d  24182  itg2seq  24270  itg2gt0  24288  plyeq0lem  24727  logtayllem  25169  cxproot  25200  cxpeq  25265  quartlem3  25364  leibpi  25447  emcllem4  25503  emcllem6  25505  basellem6  25590  mulogsumlem  26034  pntpbnd2  26090  ipasslem4  28538  ipasslem5  28539  minvecolem5  28585  subfaclim  32332  faclim  32875  poimirlem29  34802  poimirlem30  34803  xrralrecnnle  41529  xrralrecnnge  41538  iooiinicc  41694  iooiinioc  41708  stirlinglem1  42236  iinhoiicclem  42832  iunhoiioolem  42834  iccvonmbllem  42837  vonioolem1  42839  vonioolem2  42840  vonicclem1  42842  vonicclem2  42843  preimageiingt  42875  preimaleiinlt  42876  salpreimagtge  42879  salpreimaltle  42880  smflimlem6  42929
  Copyright terms: Public domain W3C validator