MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrecred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnrecred 10913
Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnge1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
nnrecred (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred
StepHypRef Expression
1 nnge1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
2 nnrecre 10904 . 2 (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  (class class class)co 6527  cr 9791  1c1 9793   / cdiv 10533  cn 10867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868
This theorem is referenced by:  trireciplem  14379  trirecip  14380  geo2sum  14389  geo2lim  14391  bpolydiflem  14570  ege2le3  14605  eftlub  14624  eirrlem  14717  prmreclem6  15409  lmnn  22787  bcthlem5  22850  opnmbllem  23092  mbfi1fseqlem4  23208  taylthlem2  23849  logtayl  24123  leibpi  24386  amgmlem  24433  emcllem1  24439  emcllem2  24440  emcllem3  24441  emcllem5  24443  harmoniclbnd  24452  harmonicubnd  24453  harmonicbnd4  24454  fsumharmonic  24455  lgamgulmlem1  24472  lgamgulmlem2  24473  lgamgulmlem3  24474  lgamgulmlem5  24476  lgamucov  24481  ftalem4  24519  ftalem5  24520  basellem6  24529  basellem7  24530  basellem9  24532  chpchtsum  24661  logfaclbnd  24664  rplogsumlem2  24891  rpvmasumlem  24893  dchrmusum2  24900  dchrvmasumlem3  24905  dchrisum0fno1  24917  mulogsumlem  24937  mulogsum  24938  mulog2sumlem1  24940  vmalogdivsum2  24944  logdivbnd  24962  pntrsumo1  24971  pntrlog2bndlem2  24984  pntrlog2bndlem5  24987  pntrlog2bndlem6  24989  pntpbnd2  24993  padicabvf  25037  minvecolem3  26922  minvecolem4  26926  subfacval3  30231  cvmliftlem13  30338  poimirlem29  32404  opnmbllem0  32411  heiborlem7  32582  irrapxlem4  36203  hashnzfz2  37338  hashnzfzclim  37339  stoweidlem30  38720  stoweidlem38  38728  stoweidlem44  38734  vonioolem1  39368  smflimlem3  39456  amgmlemALT  42314
  Copyright terms: Public domain W3C validator