Theorem nnrecred 11682

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
nnge1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
nnrecred	⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
2		nnrecre 11673	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (1 / 𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  ℝcr 10530  1c1 10532   / cdiv 11291  ℕcn 11632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633

This theorem is referenced by:  trireciplem  15211  trirecip  15212  geo2sum  15223  geo2lim  15225  bpolydiflem  15402  ege2le3  15437  eftlub  15456  eirrlem  15551  prmreclem4  16249  prmreclem6  16251  lmnn  23860  bcthlem5  23925  opnmbllem  24196  mbfi1fseqlem4  24313  taylthlem2  24956  logtayl  25237  leibpi  25514  amgmlem  25561  emcllem1  25567  emcllem2  25568  emcllem3  25569  emcllem5  25571  harmoniclbnd  25580  harmonicubnd  25581  harmonicbnd4  25582  fsumharmonic  25583  lgamgulmlem1  25600  lgamgulmlem2  25601  lgamgulmlem3  25602  lgamgulmlem5  25604  lgamucov  25609  ftalem4  25647  ftalem5  25648  basellem6  25657  basellem7  25658  basellem9  25660  chpchtsum  25789  logfaclbnd  25792  rplogsumlem2  26055  rpvmasumlem  26057  dchrmusum2  26064  dchrvmasumlem3  26069  dchrisum0fno1  26081  mulogsumlem  26101  mulogsum  26102  mulog2sumlem1  26104  vmalogdivsum2  26108  logdivbnd  26126  pntrsumo1  26135  pntrlog2bndlem2  26148  pntrlog2bndlem5  26151  pntrlog2bndlem6  26153  pntpbnd2  26157  padicabvf  26201  minvecolem3  28647  minvecolem4  28651  subfacval3  32431  cvmliftlem13  32538  poimirlem29  34915  opnmbllem0  34922  heiborlem7  35089  fltne  39265  irrapxlem4  39415  hashnzfz2  40646  hashnzfzclim  40647  stoweidlem30  42309  stoweidlem38  42317  stoweidlem44  42323  vonioolem1  42956  smflimlem3  43043  amgmlemALT  44898