Theorem nnrp 12403

Description: A positive integer is a positive real. (Contributed by NM, 28-Nov-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrp	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Proof of Theorem nnrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnre 11648	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
2		nngt0 11671	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3		elrp 12394	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
4	1, 2, 3	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ+)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5069  ℝcr 10539  0cc0 10540   < clt 10678  ℕcn 11641  ℝ⁺crp 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-rp 12393

This theorem is referenced by:  nnrpd  12432  nn0ledivnn  12505  adddivflid  13191  divfl0  13197  fldivnn0le  13205  zmodcl  13262  zmodfz  13264  zmodid2  13270  m1modnnsub1  13288  addmodid  13290  modifeq2int  13304  modaddmodup  13305  modaddmodlo  13306  modsumfzodifsn  13315  addmodlteq  13317  nnesq  13591  digit2  13600  digit1  13601  bcrpcl  13671  bcval5  13681  lswccatn0lsw  13948  cshw0  14159  cshwmodn  14160  cshwsublen  14161  cshwidxmod  14168  cshwidxmodr  14169  cshwidxm1  14172  cshwidxm  14173  repswcshw  14177  2cshw  14178  cshweqrep  14186  modfsummods  15151  divcnv  15211  supcvg  15214  harmonic  15217  expcnv  15222  rpnnen2lem11  15580  sqrt2irr  15605  dvdsval3  15614  dvdsmodexp  15618  moddvds  15621  divalgmod  15760  flodddiv4  15767  modgcd  15883  divgcdcoprm0  16012  isprm5  16054  isprm6  16061  nnnn0modprm0  16146  pythagtriplem13  16167  fldivp1  16236  prmreclem5  16259  prmreclem6  16260  4sqlem12  16295  modxai  16407  modsubi  16411  smndex1iidm  18069  smndex1n0mnd  18080  mulgmodid  18269  odmodnn0  18671  gexdvds  18712  sylow1lem1  18726  gexexlem  18975  znf1o  20701  met1stc  23134  lmnn  23869  bcthlem5  23934  minveclem3  24035  vitali  24217  ismbf3d  24258  itg2seq  24346  plyeq0lem  24803  elqaalem3  24913  aalioulem6  24929  aaliou  24930  logtayllem  25245  sqrt2cxp2logb9e3  25380  atan1  25509  leibpi  25523  birthdaylem2  25533  dfef2  25551  divsqrtsumlem  25560  emcllem1  25576  emcllem2  25577  emcllem3  25578  emcllem4  25579  emcllem6  25581  zetacvg  25595  lgam1  25644  ppiub  25783  vmalelog  25784  logfacbnd3  25802  logexprlim  25804  bcmono  25856  bclbnd  25859  bposlem1  25863  bposlem7  25869  bposlem8  25870  bposlem9  25871  gausslemma2dlem1a  25944  gausslemma2dlem4  25948  gausslemma2dlem6  25951  m1lgs  25967  2lgslem1a1  25968  2lgslem3a1  25979  2lgslem3b1  25980  2lgslem3c1  25981  2lgslem3d1  25982  2lgslem4  25985  2lgsoddprmlem2  25988  2sqreultlem  26026  2sqreunnltlem  26029  rplogsumlem1  26063  dchrisumlema  26067  dchrisumlem2  26069  dchrisumlem3  26070  dchrvmasumlem2  26077  dchrvmasumiflem1  26080  dchrisum0lem1b  26094  dchrisum0lem2a  26096  rplogsum  26106  logdivsum  26112  mulog2sumlem2  26114  logsqvma  26121  logsqvma2  26122  log2sumbnd  26123  selberg2lem  26129  logdivbnd  26135  pntrsumo1  26144  pntrsumbnd  26145  pntibndlem1  26168  pntibndlem2  26170  pntibndlem3  26171  pntlemd  26173  pntlema  26175  pntlemb  26176  pntlemr  26181  pntlemj  26182  pntlemf  26184  pntlemo  26186  crctcshwlkn0lem5  27595  crctcshwlkn0lem6  27596  lnconi  29813  rpdp2cl  30562  rpdp2cl2  30563  hgt750lem  31926  hgt750lem2  31927  hgt750leme  31933  circum  32921  bccolsum  32975  faclimlem3  32981  faclim  32982  poimirlem29  34925  poimirlem30  34926  poimirlem31  34927  poimirlem32  34928  mblfinlem3  34935  itg2addnclem2  34948  itg2addnclem3  34949  itg2addnc  34950  pellexlem4  39435  pell1qrgaplem  39476  pellqrex  39482  congrep  39576  acongeq  39586  proot1ex  39807  hashnzfzclim  40660  xrralrecnnle  41659  nnrecrp  41662  xrralrecnnge  41668  iooiinicc  41824  iooiinioc  41838  fprodsubrecnncnvlem  42197  fprodaddrecnncnvlem  42199  wallispilem4  42360  wallispi  42362  wallispi2lem1  42363  wallispi2lem2  42364  stirlinglem1  42366  stirlinglem2  42367  stirlinglem3  42368  stirlinglem4  42369  stirlinglem6  42371  stirlinglem7  42372  stirlinglem10  42375  stirlinglem11  42376  stirlinglem13  42378  stirlinglem14  42379  stirlinglem15  42380  stirlingr  42382  dirkertrigeqlem1  42390  hoicvrrex  42845  ovnsubaddlem2  42860  hoiqssbllem3  42913  iinhoiicc  42963  iunhoiioo  42965  vonioolem1  42969  vonioolem2  42970  vonicclem1  42972  vonicclem2  42973  preimageiingt  43005  preimaleiinlt  43006  fsummmodsndifre  43541  mod42tp1mod8  43774  lighneallem2  43778  3exp4mod41  43788  41prothprmlem2  43790  perfectALTVlem2  43894  2exp340mod341  43905  8exp8mod9  43908  nfermltl8rev  43914  mod0mul  44586  modn0mul  44587  m1modmmod  44588  difmodm1lt  44589  nnlog2ge0lt1  44633  blennnelnn  44643  nnpw2blen  44647  blen1b  44655  blennnt2  44656  blennn0e2  44661  dignn0fr  44668  dignn0ldlem  44669  dignnld  44670  dig2nn1st  44672  dig0  44673