Theorem nnsscn 11637

Description: The positive integers are a subset of the complex numbers. Remark: this could also be proven from nnssre 11636 and ax-resscn 10588 at the cost of using more axioms. (Contributed by NM, 2-Aug-2004.) Reduce dependencies on axioms. (Revised by Steven Nguyen, 4-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nnsscn	⊢ ℕ ⊆ ℂ

Proof of Theorem nnsscn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 10589	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		peano2cn 10806	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
3	2	rgen 3148	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 1) ∈ ℂ
4		peano5nni 11635	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ (𝑥 + 1) ∈ ℂ) → ℕ ⊆ ℂ)
5	1, 3, 4	mp2an 690	1 ⊢ ℕ ⊆ ℂ

Syntax hints:   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138   ⊆ wss 3936  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  1c1 10532   + caddc 10534  ℕcn 11632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-1cn 10589  ax-addcl 10591

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7153  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-nn 11633

This theorem is referenced by:  nnex  11638  nncn  11640  nncnd  11648  nn0sscn  11896  nn0addcl  11926  nn0mulcl  11927  dfz2  11994  nnexpcl  13436  fprodnncl  15303  nnrisefaccl  15367  znnen  15559  wunndx  16498  cmetcaulem  23885  dvdsmulf1o  25765  fsumdvdsmul  25766  esumcvg  31340  eulerpartlemgs2  31633  fsum2dsub  31873  reprsuc  31881  nndivsub  33800  fsumnncl  41844  nnsgrpmgm  44076  nnsgrp  44077  nnsgrpnmnd  44078