MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnssre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnssre 11062
Description: The positive integers are a subset of the reals. (Contributed by NM, 10-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
nnssre ℕ ⊆ ℝ

Proof of Theorem nnssre
StepHypRef Expression
1 1re 10077 . 2 1 ∈ ℝ
2 peano2re 10247 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
32rgen 2951 . 2 𝑥 ∈ ℝ (𝑥 + 1) ∈ ℝ
4 peano5nni 11061 . 2 ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ℕ ⊆ ℝ)
51, 3, 4mp2an 708 1 ℕ ⊆ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2030  wral 2941  wss 3607  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977  cn 11058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-nn 11059
This theorem is referenced by:  nnsscn  11063  nnre  11065  dfnn3  11072  nnred  11073  nnunb  11326  nn0ssre  11334  isercolllem1  14439  isercolllem2  14440  isercoll  14442  o1fsum  14589  ruc  15016  prmgaplem3  15804  prmgaplem4  15805  gsumval3  18354  ovolctb2  23306  ovolicc2lem3  23333  ovolicc2lem4  23334  iundisj2  23363  iundisj2f  29529  ssnnssfz  29677  iundisjfi  29683  iundisj2fi  29684  xrsmulgzz  29806  ballotlemsup  30694  reprlt  30825  reprgt  30827  erdszelem5  31303  erdszelem7  31305  erdszelem8  31306  incsequz2  33675  stoweidlem34  40569  fourierdlem31  40673  prmdvdsfmtnof1lem1  41821  prmdvdsfmtnof  41823
  Copyright terms: Public domain W3C validator