Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsum3primesgbe Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsum3primesgbe 43834
Description: Any even Goldbach number is the sum of at most 3 (actually 2) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum3primesgbe (𝑁 ∈ GoldbachEven → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
Distinct variable group:   𝑁,𝑑,𝑓,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primesgbe
Dummy variables 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isgbe 43793 . 2 (𝑁 ∈ GoldbachEven ↔ (𝑁 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))))
2 2nn 11698 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → 2 ∈ ℕ)
4 oveq2 7153 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = (1...2))
5 df-2 11688 . . . . . . . . . . . . 13 2 = (1 + 1)
65oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . 12 (1...2) = (1...(1 + 1))
7 1z 12000 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
8 fzpr 12950 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)})
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (1...(1 + 1)) = {1, (1 + 1)}
10 1p1e2 11750 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) = 2
1110preq2i 4665 . . . . . . . . . . . 12 {1, (1 + 1)} = {1, 2}
126, 9, 113eqtri 2845 . . . . . . . . . . 11 (1...2) = {1, 2}
134, 12syl6eq 2869 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 2 → (1...𝑑) = {1, 2})
1413oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 2 → (ℙ ↑m (1...𝑑)) = (ℙ ↑m {1, 2}))
15 breq1 5060 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 2 → (𝑑 ≤ 3 ↔ 2 ≤ 3))
1613sumeq1d 15046 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 2 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘))
1716eqeq2d 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 2 → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘)))
1815, 17anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 2 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘))))
1914, 18rexeqbidv 3400 . . . . . . . 8 (𝑑 = 2 → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘))))
2019adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) ∧ 𝑑 = 2) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘))))
21 1ne2 11833 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 2
22 1ex 10625 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ V
23 2ex 11702 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ V
24 vex 3495 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑝 ∈ V
25 vex 3495 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑞 ∈ V
2622, 23, 24, 25fpr 6908 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ≠ 2 → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}:{1, 2}⟶{𝑝, 𝑞})
2721, 26mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}:{1, 2}⟶{𝑝, 𝑞})
28 prssi 4746 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → {𝑝, 𝑞} ⊆ ℙ)
2927, 28fssd 6521 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}:{1, 2}⟶ℙ)
30 prmex 16009 . . . . . . . . . . . . 13 ℙ ∈ V
31 prex 5323 . . . . . . . . . . . . 13 {1, 2} ∈ V
3230, 31pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (ℙ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V)
33 elmapg 8408 . . . . . . . . . . . 12 ((ℙ ∈ V ∧ {1, 2} ∈ V) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}:{1, 2}⟶ℙ))
3432, 33mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2}) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}:{1, 2}⟶ℙ))
3529, 34mpbird 258 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} ∈ (ℙ ↑m {1, 2}))
36 fveq1 6662 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} → (𝑓𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘))
3736adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1, 2}) → (𝑓𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘))
3837sumeq2dv 15048 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} → Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘))
3938eqeq1d 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} → (Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = (𝑝 + 𝑞) ↔ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞)))
4039anbi2d 628 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩} → ((2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
4140adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}) → ((2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = (𝑝 + 𝑞)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
42 prmz 16007 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
43 prmz 16007 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
44 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘1))
4522, 24fvpr1 6944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘1) = 𝑝)
4621, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘1) = 𝑝
4744, 46syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = 𝑝)
48 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘2))
4923, 25fvpr2 6945 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘2) = 𝑞)
5021, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘2) = 𝑞
5148, 50syl6eq 2869 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = 𝑞)
52 zcn 11974 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ ℤ → 𝑝 ∈ ℂ)
53 zcn 11974 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ℤ → 𝑞 ∈ ℂ)
5452, 53anim12i 612 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ))
557, 2pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ)
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ))
5721a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → 1 ≠ 2)
5847, 51, 54, 56, 57sumpr 15091 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))
5942, 43, 58syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞))
60 2re 11699 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
61 3re 11705 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ
62 2lt3 11797 . . . . . . . . . . . 12 2 < 3
6360, 61, 62ltleii 10751 . . . . . . . . . . 11 2 ≤ 3
6459, 63jctil 520 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩}‘𝑘) = (𝑝 + 𝑞)))
6535, 41, 64rspcedvd 3623 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = (𝑝 + 𝑞)))
6665adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = (𝑝 + 𝑞)))
67 eqeq1 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = (𝑝 + 𝑞) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) ↔ (𝑝 + 𝑞) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘)))
68 eqcom 2825 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 + 𝑞) = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) ↔ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = (𝑝 + 𝑞))
6967, 68syl6bb 288 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = (𝑝 + 𝑞) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) ↔ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = (𝑝 + 𝑞)))
7069anbi2d 628 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = (𝑝 + 𝑞) → ((2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘)) ↔ (2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
7170rexbidv 3294 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = (𝑝 + 𝑞) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
72713ad2ant3 1127 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
7372adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘) = (𝑝 + 𝑞))))
7466, 73mpbird 258 . . . . . . 7 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m {1, 2})(2 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ {1, 2} (𝑓𝑘)))
753, 20, 74rspcedvd 3623 . . . . . 6 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
7675a1d 25 . . . . 5 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → (𝑁 ∈ Even → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘))))
7776ex 413 . . . 4 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑁 ∈ Even → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))))
7877rexlimivv 3289 . . 3 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)) → (𝑁 ∈ Even → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘))))
7978impcom 408 . 2 ((𝑁 ∈ Even ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ (𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
801, 79sylbi 218 1 (𝑁 ∈ GoldbachEven → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑m (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  Vcvv 3492  {cpr 4559  cop 4563   class class class wbr 5057  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395  cc 10523  1c1 10526   + caddc 10528  cle 10664  cn 11626  2c2 11680  3c3 11681  cz 11969  ...cfz 12880  Σcsu 15030  cprime 16003   Even ceven 43666   Odd codd 43667   GoldbachEven cgbe 43787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-prm 16004  df-gbe 43790
This theorem is referenced by:  nnsum4primesgbe  43835  nnsum3primesle9  43836  bgoldbnnsum3prm  43846
  Copyright terms: Public domain W3C validator