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Theorem nnsum3primesle9 40008
Description: Every integer greater than 1 and less than or equal to 8 is the sum of at most 3 primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum3primesle9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ≤ 8) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
Distinct variable group:   𝑁,𝑑,𝑓,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primesle9
StepHypRef Expression
1 eluzelre 11530 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
2 8re 10952 . . . . . 6 8 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 8 ∈ ℝ)
41, 3leloed 10031 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 8 ↔ (𝑁 < 8 ∨ 𝑁 = 8)))
5 eluzelz 11529 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 7nn 11037 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℕ
76nnzi 11234 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℤ
8 zleltp1 11261 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 7 ↔ 𝑁 < (7 + 1)))
95, 7, 8sylancl 692 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 7 ↔ 𝑁 < (7 + 1)))
10 7re 10950 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 7 ∈ ℝ)
121, 11leloed 10031 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 7 ↔ (𝑁 < 7 ∨ 𝑁 = 7)))
13 7p1e8 11004 . . . . . . . . . 10 (7 + 1) = 8
1413breq2i 4585 . . . . . . . . 9 (𝑁 < (7 + 1) ↔ 𝑁 < 8)
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < (7 + 1) ↔ 𝑁 < 8))
169, 12, 153bitr3rd 297 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 8 ↔ (𝑁 < 7 ∨ 𝑁 = 7)))
17 6nn 11036 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℕ
1817nnzi 11234 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℤ
19 zleltp1 11261 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 6 ↔ 𝑁 < (6 + 1)))
205, 18, 19sylancl 692 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 6 ↔ 𝑁 < (6 + 1)))
21 6re 10948 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 6 ∈ ℝ)
231, 22leloed 10031 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 6 ↔ (𝑁 < 6 ∨ 𝑁 = 6)))
24 6p1e7 11003 . . . . . . . . . . . 12 (6 + 1) = 7
2524breq2i 4585 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 < (6 + 1) ↔ 𝑁 < 7)
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < (6 + 1) ↔ 𝑁 < 7))
2720, 23, 263bitr3rd 297 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 7 ↔ (𝑁 < 6 ∨ 𝑁 = 6)))
28 5nn 11035 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℕ
2928nnzi 11234 . . . . . . . . . . . . 13 5 ∈ ℤ
30 zleltp1 11261 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 5 ↔ 𝑁 < (5 + 1)))
315, 29, 30sylancl 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 5 ↔ 𝑁 < (5 + 1)))
32 5re 10946 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℝ
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 5 ∈ ℝ)
341, 33leloed 10031 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 5 ↔ (𝑁 < 5 ∨ 𝑁 = 5)))
35 5p1e6 11002 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 + 1) = 6
3635breq2i 4585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 < (5 + 1) ↔ 𝑁 < 6)
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < (5 + 1) ↔ 𝑁 < 6))
3831, 34, 373bitr3rd 297 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 6 ↔ (𝑁 < 5 ∨ 𝑁 = 5)))
39 4z 11244 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ∈ ℤ
40 zleltp1 11261 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 4 ↔ 𝑁 < (4 + 1)))
415, 39, 40sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 4 ↔ 𝑁 < (4 + 1)))
42 4re 10944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 4 ∈ ℝ)
441, 43leloed 10031 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 4 ↔ (𝑁 < 4 ∨ 𝑁 = 4)))
45 4p1e5 11001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 + 1) = 5
4645breq2i 4585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 < (4 + 1) ↔ 𝑁 < 5)
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < (4 + 1) ↔ 𝑁 < 5))
4841, 44, 473bitr3rd 297 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 5 ↔ (𝑁 < 4 ∨ 𝑁 = 4)))
49 3z 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℤ
50 zleltp1 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 3 ↔ 𝑁 < (3 + 1)))
515, 49, 50sylancl 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 3 ↔ 𝑁 < (3 + 1)))
52 3re 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℝ
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 3 ∈ ℝ)
541, 53leloed 10031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 3 ↔ (𝑁 < 3 ∨ 𝑁 = 3)))
55 3p1e4 11000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 + 1) = 4
5655breq2i 4585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 < (3 + 1) ↔ 𝑁 < 4)
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < (3 + 1) ↔ 𝑁 < 4))
5851, 54, 573bitr3rd 297 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 4 ↔ (𝑁 < 3 ∨ 𝑁 = 3)))
59 eluz2 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
60 2re 10937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℝ
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
62 zre 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6361, 62leloed 10031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
64 3m1e2 10984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (3 − 1) = 2
6564eqcomi 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 = (3 − 1)
6665breq1i 4584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (2 < 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁)
67 zlem1lt 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 ≤ 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁))
6849, 67mpan 701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁))
6968biimprd 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℤ → ((3 − 1) < 𝑁 → 3 ≤ 𝑁))
7066, 69syl5bi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 → 3 ≤ 𝑁))
7152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
7271, 62lenltd 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 3))
73 pm2.21 118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝑁 < 3 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
7472, 73syl6bi 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
7570, 74syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
7675com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
77 eqcom 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 = 𝑁𝑁 = 2)
7877biimpi 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 = 𝑁𝑁 = 2)
79782a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
8076, 79jaoi 392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
8180com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
8263, 81sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
8382imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
84 2lt3 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 < 3
85 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 = 2 → (𝑁 < 3 ↔ 2 < 3))
8684, 85mpbiri 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = 2 → 𝑁 < 3)
8783, 86impbid1 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 = 2))
88873adant1 1071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 = 2))
8959, 88sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 = 2))
9089orbi1d 734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 3 ∨ 𝑁 = 3) ↔ (𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
9158, 90bitrd 266 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 4 ↔ (𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
9291orbi1d 734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 4 ∨ 𝑁 = 4) ↔ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4)))
9348, 92bitrd 266 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 5 ↔ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4)))
9493orbi1d 734 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 5 ∨ 𝑁 = 5) ↔ (((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5)))
9538, 94bitrd 266 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 6 ↔ (((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5)))
9695orbi1d 734 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 6 ∨ 𝑁 = 6) ↔ ((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6)))
9727, 96bitrd 266 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 7 ↔ ((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6)))
9897orbi1d 734 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 7 ∨ 𝑁 = 7) ↔ (((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7)))
9916, 98bitrd 266 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 8 ↔ (((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7)))
10099orbi1d 734 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 8 ∨ 𝑁 = 8) ↔ ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8)))
101100biimpd 217 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 8 ∨ 𝑁 = 8) → ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8)))
1024, 101sylbid 228 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 8 → ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8)))
103102imp 443 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ≤ 8) → ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8))
104 2prm 15189 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℙ
105 eleq1 2675 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 2 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 2 ∈ ℙ))
106104, 105mpbiri 246 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 2 → 𝑁 ∈ ℙ)
107 nnsum3primesprm 40004 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℙ → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
108106, 107syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 = 2 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
109 3prm 15190 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℙ
110 eleq1 2675 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 3 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 3 ∈ ℙ))
111109, 110mpbiri 246 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 3 → 𝑁 ∈ ℙ)
112111, 107syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 = 3 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
113108, 112jaoi 392 . . . . . . 7 ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
114 nnsum3primes4 40002 . . . . . . . 8 𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘))
115 eqeq1 2613 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 4 → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘) ↔ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
116115anbi2d 735 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 4 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ (𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘))))
1171162rexbidv 3038 . . . . . . . 8 (𝑁 = 4 → (∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘))))
118114, 117mpbiri 246 . . . . . . 7 (𝑁 = 4 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
119113, 118jaoi 392 . . . . . 6 (((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
120 5prm 15599 . . . . . . . 8 5 ∈ ℙ
121 eleq1 2675 . . . . . . . 8 (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 5 ∈ ℙ))
122120, 121mpbiri 246 . . . . . . 7 (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ℙ)
123122, 107syl 17 . . . . . 6 (𝑁 = 5 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
124119, 123jaoi 392 . . . . 5 ((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
125 6gbe 39991 . . . . . . 7 6 ∈ GoldbachEven
126 eleq1 2675 . . . . . . 7 (𝑁 = 6 → (𝑁 ∈ GoldbachEven ↔ 6 ∈ GoldbachEven ))
127125, 126mpbiri 246 . . . . . 6 (𝑁 = 6 → 𝑁 ∈ GoldbachEven )
128 nnsum3primesgbe 40006 . . . . . 6 (𝑁 ∈ GoldbachEven → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
129127, 128syl 17 . . . . 5 (𝑁 = 6 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
130124, 129jaoi 392 . . . 4 (((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
131 7prm 15601 . . . . . 6 7 ∈ ℙ
132 eleq1 2675 . . . . . 6 (𝑁 = 7 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 7 ∈ ℙ))
133131, 132mpbiri 246 . . . . 5 (𝑁 = 7 → 𝑁 ∈ ℙ)
134133, 107syl 17 . . . 4 (𝑁 = 7 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
135130, 134jaoi 392 . . 3 ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
136 8gbe 39993 . . . . 5 8 ∈ GoldbachEven
137 eleq1 2675 . . . . 5 (𝑁 = 8 → (𝑁 ∈ GoldbachEven ↔ 8 ∈ GoldbachEven ))
138136, 137mpbiri 246 . . . 4 (𝑁 = 8 → 𝑁 ∈ GoldbachEven )
139138, 128syl 17 . . 3 (𝑁 = 8 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
140135, 139jaoi 392 . 2 (((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
141103, 140syl 17 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ≤ 8) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7721  cr 9791  1c1 9793   + caddc 9795   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  cn 10867  2c2 10917  3c3 10918  4c4 10919  5c5 10920  6c6 10921  7c7 10922  8c8 10923  cz 11210  cuz 11519  ...cfz 12152  Σcsu 14210  cprime 15169   GoldbachEven cgbe 39965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211  df-dvds 14768  df-prm 15170  df-even 39875  df-odd 39876  df-gbe 39968
This theorem is referenced by:  nnsum4primesle9  40009  bgoldbnnsum3prm  40018
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