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Theorem nnsum3primesle9 42007
Description: Every integer greater than 1 and less than or equal to 8 is the sum of at most 3 primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum3primesle9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ≤ 8) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
Distinct variable group:   𝑁,𝑑,𝑓,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primesle9
StepHypRef Expression
1 eluzelre 11736 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
2 8re 11143 . . . . . 6 8 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 8 ∈ ℝ)
41, 3leloed 10218 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 8 ↔ (𝑁 < 8 ∨ 𝑁 = 8)))
5 eluzelz 11735 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 7nn 11228 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℕ
76nnzi 11439 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℤ
8 zleltp1 11466 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 7 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 7 ↔ 𝑁 < (7 + 1)))
95, 7, 8sylancl 695 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 7 ↔ 𝑁 < (7 + 1)))
10 7re 11141 . . . . . . . . . 10 7 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 7 ∈ ℝ)
121, 11leloed 10218 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 7 ↔ (𝑁 < 7 ∨ 𝑁 = 7)))
13 7p1e8 11195 . . . . . . . . . 10 (7 + 1) = 8
1413breq2i 4693 . . . . . . . . 9 (𝑁 < (7 + 1) ↔ 𝑁 < 8)
1514a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < (7 + 1) ↔ 𝑁 < 8))
169, 12, 153bitr3rd 299 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 8 ↔ (𝑁 < 7 ∨ 𝑁 = 7)))
17 6nn 11227 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℕ
1817nnzi 11439 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℤ
19 zleltp1 11466 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 6 ↔ 𝑁 < (6 + 1)))
205, 18, 19sylancl 695 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 6 ↔ 𝑁 < (6 + 1)))
21 6re 11139 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 6 ∈ ℝ)
231, 22leloed 10218 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 6 ↔ (𝑁 < 6 ∨ 𝑁 = 6)))
24 6p1e7 11194 . . . . . . . . . . . 12 (6 + 1) = 7
2524breq2i 4693 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 < (6 + 1) ↔ 𝑁 < 7)
2625a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < (6 + 1) ↔ 𝑁 < 7))
2720, 23, 263bitr3rd 299 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 7 ↔ (𝑁 < 6 ∨ 𝑁 = 6)))
28 5nn 11226 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℕ
2928nnzi 11439 . . . . . . . . . . . . 13 5 ∈ ℤ
30 zleltp1 11466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 5 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 5 ↔ 𝑁 < (5 + 1)))
315, 29, 30sylancl 695 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 5 ↔ 𝑁 < (5 + 1)))
32 5re 11137 . . . . . . . . . . . . . 14 5 ∈ ℝ
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 5 ∈ ℝ)
341, 33leloed 10218 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 5 ↔ (𝑁 < 5 ∨ 𝑁 = 5)))
35 5p1e6 11193 . . . . . . . . . . . . . 14 (5 + 1) = 6
3635breq2i 4693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 < (5 + 1) ↔ 𝑁 < 6)
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < (5 + 1) ↔ 𝑁 < 6))
3831, 34, 373bitr3rd 299 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 6 ↔ (𝑁 < 5 ∨ 𝑁 = 5)))
39 4z 11449 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ∈ ℤ
40 zleltp1 11466 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 4 ↔ 𝑁 < (4 + 1)))
415, 39, 40sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 4 ↔ 𝑁 < (4 + 1)))
42 4re 11135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 4 ∈ ℝ)
441, 43leloed 10218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 4 ↔ (𝑁 < 4 ∨ 𝑁 = 4)))
45 4p1e5 11192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (4 + 1) = 5
4645breq2i 4693 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 < (4 + 1) ↔ 𝑁 < 5)
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < (4 + 1) ↔ 𝑁 < 5))
4841, 44, 473bitr3rd 299 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 5 ↔ (𝑁 < 4 ∨ 𝑁 = 4)))
49 3z 11448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℤ
50 zleltp1 11466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ 3 ↔ 𝑁 < (3 + 1)))
515, 49, 50sylancl 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 3 ↔ 𝑁 < (3 + 1)))
52 3re 11132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℝ
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 3 ∈ ℝ)
541, 53leloed 10218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 3 ↔ (𝑁 < 3 ∨ 𝑁 = 3)))
55 3p1e4 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (3 + 1) = 4
5655breq2i 4693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 < (3 + 1) ↔ 𝑁 < 4)
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < (3 + 1) ↔ 𝑁 < 4))
5851, 54, 573bitr3rd 299 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 4 ↔ (𝑁 < 3 ∨ 𝑁 = 3)))
59 eluz2 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
60 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℝ
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
62 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6361, 62leloed 10218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 ↔ (2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁)))
64 3m1e2 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (3 − 1) = 2
6564eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2 = (3 − 1)
6665breq1i 4692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 < 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁)
67 zlem1lt 11467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (3 ≤ 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁))
6849, 67mpan 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 ↔ (3 − 1) < 𝑁))
6968biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℤ → ((3 − 1) < 𝑁 → 3 ≤ 𝑁))
7066, 69syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℤ → (2 < 𝑁 → 3 ≤ 𝑁))
7152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
7271, 62lenltd 10221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 3))
73 pm2.21 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑁 < 3 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
7472, 73syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℤ → (3 ≤ 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
7570, 74syldc 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 < 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
76 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (2 = 𝑁𝑁 = 2)
7776biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (2 = 𝑁𝑁 = 2)
78772a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 = 𝑁 → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
7975, 78jaoi 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
8079com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 < 𝑁 ∨ 2 = 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
8163, 80sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑁 → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2)))
8281imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 → 𝑁 = 2))
83 2lt3 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 < 3
84 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 = 2 → (𝑁 < 3 ↔ 2 < 3))
8583, 84mpbiri 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = 2 → 𝑁 < 3)
8682, 85impbid1 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 = 2))
87863adant1 1099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁) → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 = 2))
8859, 87sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 3 ↔ 𝑁 = 2))
8988orbi1d 739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 3 ∨ 𝑁 = 3) ↔ (𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
9058, 89bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 4 ↔ (𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3)))
9190orbi1d 739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 4 ∨ 𝑁 = 4) ↔ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4)))
9248, 91bitrd 268 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 5 ↔ ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4)))
9392orbi1d 739 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 5 ∨ 𝑁 = 5) ↔ (((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5)))
9438, 93bitrd 268 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 6 ↔ (((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5)))
9594orbi1d 739 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 6 ∨ 𝑁 = 6) ↔ ((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6)))
9627, 95bitrd 268 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 7 ↔ ((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6)))
9796orbi1d 739 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 7 ∨ 𝑁 = 7) ↔ (((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7)))
9816, 97bitrd 268 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 < 8 ↔ (((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7)))
9998orbi1d 739 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 8 ∨ 𝑁 = 8) ↔ ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8)))
10099biimpd 219 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((𝑁 < 8 ∨ 𝑁 = 8) → ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8)))
1014, 100sylbid 230 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 ≤ 8 → ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8)))
102101imp 444 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ≤ 8) → ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8))
103 2prm 15452 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℙ
104 eleq1 2718 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 2 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 2 ∈ ℙ))
105103, 104mpbiri 248 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 2 → 𝑁 ∈ ℙ)
106 nnsum3primesprm 42003 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℙ → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
107105, 106syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 = 2 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
108 3prm 15453 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℙ
109 eleq1 2718 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 3 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 3 ∈ ℙ))
110108, 109mpbiri 248 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 3 → 𝑁 ∈ ℙ)
111110, 106syl 17 . . . . . . . 8 (𝑁 = 3 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
112107, 111jaoi 393 . . . . . . 7 ((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
113 nnsum3primes4 42001 . . . . . . . 8 𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘))
114 eqeq1 2655 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 4 → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘) ↔ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
115114anbi2d 740 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 4 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ (𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘))))
1161152rexbidv 3086 . . . . . . . 8 (𝑁 = 4 → (∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 4 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘))))
117113, 116mpbiri 248 . . . . . . 7 (𝑁 = 4 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
118112, 117jaoi 393 . . . . . 6 (((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
119 5prm 15862 . . . . . . . 8 5 ∈ ℙ
120 eleq1 2718 . . . . . . . 8 (𝑁 = 5 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 5 ∈ ℙ))
121119, 120mpbiri 248 . . . . . . 7 (𝑁 = 5 → 𝑁 ∈ ℙ)
122121, 106syl 17 . . . . . 6 (𝑁 = 5 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
123118, 122jaoi 393 . . . . 5 ((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
124 6gbe 41984 . . . . . . 7 6 ∈ GoldbachEven
125 eleq1 2718 . . . . . . 7 (𝑁 = 6 → (𝑁 ∈ GoldbachEven ↔ 6 ∈ GoldbachEven ))
126124, 125mpbiri 248 . . . . . 6 (𝑁 = 6 → 𝑁 ∈ GoldbachEven )
127 nnsum3primesgbe 42005 . . . . . 6 (𝑁 ∈ GoldbachEven → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
128126, 127syl 17 . . . . 5 (𝑁 = 6 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
129123, 128jaoi 393 . . . 4 (((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
130 7prm 15864 . . . . . 6 7 ∈ ℙ
131 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑁 = 7 → (𝑁 ∈ ℙ ↔ 7 ∈ ℙ))
132130, 131mpbiri 248 . . . . 5 (𝑁 = 7 → 𝑁 ∈ ℙ)
133132, 106syl 17 . . . 4 (𝑁 = 7 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
134129, 133jaoi 393 . . 3 ((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
135 8gbe 41986 . . . . 5 8 ∈ GoldbachEven
136 eleq1 2718 . . . . 5 (𝑁 = 8 → (𝑁 ∈ GoldbachEven ↔ 8 ∈ GoldbachEven ))
137135, 136mpbiri 248 . . . 4 (𝑁 = 8 → 𝑁 ∈ GoldbachEven )
138137, 127syl 17 . . 3 (𝑁 = 8 → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
139134, 138jaoi 393 . 2 (((((((𝑁 = 2 ∨ 𝑁 = 3) ∨ 𝑁 = 4) ∨ 𝑁 = 5) ∨ 𝑁 = 6) ∨ 𝑁 = 7) ∨ 𝑁 = 8) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
140102, 139syl 17 1 ((𝑁 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ≤ 8) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wrex 2942   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  2c2 11108  3c3 11109  4c4 11110  5c5 11111  6c6 11112  7c7 11113  8c8 11114  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  Σcsu 14460  cprime 15432   GoldbachEven cgbe 41958
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-dvds 15028  df-prm 15433  df-even 41864  df-odd 41865  df-gbe 41961
This theorem is referenced by:  nnsum4primesle9  42008  bgoldbnnsum3prm  42017
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