Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsum3primesprm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsum3primesprm 40011
Description: Every prime is "the sum of at most 3" (actually one - the prime itself) primes. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.) (Proof shortened by AV, 17-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
nnsum3primesprm (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
Distinct variable group:   𝑃,𝑑,𝑓,𝑘

Proof of Theorem nnsum3primesprm
StepHypRef Expression
1 1nn 10878 . 2 1 ∈ ℕ
2 1zzd 11241 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 1 ∈ ℤ)
3 id 22 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℙ)
42, 3fsnd 6076 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → {⟨1, 𝑃⟩}:{1}⟶ℙ)
5 prmex 15175 . . . . 5 ℙ ∈ V
6 snex 4830 . . . . 5 {1} ∈ V
75, 6elmap 7749 . . . 4 ({⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 {1}) ↔ {⟨1, 𝑃⟩}:{1}⟶ℙ)
84, 7sylibr 222 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → {⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 {1}))
9 1re 9895 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
10 simpl 471 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑃 ∈ ℙ)
11 fvsng 6330 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = 𝑃)
129, 10, 11sylancr 693 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑘 ∈ {1}) → ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = 𝑃)
1312sumeq2dv 14227 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1) = Σ𝑘 ∈ {1}𝑃)
14 prmz 15173 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1514zcnd 11315 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
16 eqidd 2610 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → 𝑃 = 𝑃)
1716sumsn 14265 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {1}𝑃 = 𝑃)
189, 15, 17sylancr 693 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → Σ𝑘 ∈ {1}𝑃 = 𝑃)
1913, 18eqtr2d 2644 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
20 1le3 11091 . . . 4 1 ≤ 3
2119, 20jctil 557 . . 3 (𝑃 ∈ ℙ → (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1)))
22 simpl 471 . . . . . . . 8 ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩})
23 elsni 4141 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ {1} → 𝑘 = 1)
2423adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → 𝑘 = 1)
2522, 24fveq12d 6094 . . . . . . 7 ((𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} ∧ 𝑘 ∈ {1}) → (𝑓𝑘) = ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
2625sumeq2dv 14227 . . . . . 6 (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))
2726eqeq2d 2619 . . . . 5 (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → (𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘) ↔ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1)))
2827anbi2d 735 . . . 4 (𝑓 = {⟨1, 𝑃⟩} → ((1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘)) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))))
2928rspcev 3281 . . 3 (({⟨1, 𝑃⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 {1}) ∧ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} ({⟨1, 𝑃⟩}‘1))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘)))
308, 21, 29syl2anc 690 . 2 (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘)))
31 oveq2 6535 . . . . . 6 (𝑑 = 1 → (1...𝑑) = (1...1))
32 1z 11240 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
33 fzsn 12209 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
3432, 33ax-mp 5 . . . . . 6 (1...1) = {1}
3531, 34syl6eq 2659 . . . . 5 (𝑑 = 1 → (1...𝑑) = {1})
3635oveq2d 6543 . . . 4 (𝑑 = 1 → (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑)) = (ℙ ↑𝑚 {1}))
37 breq1 4580 . . . . 5 (𝑑 = 1 → (𝑑 ≤ 3 ↔ 1 ≤ 3))
3835sumeq1d 14225 . . . . . 6 (𝑑 = 1 → Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘))
3938eqeq2d 2619 . . . . 5 (𝑑 = 1 → (𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘) ↔ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘)))
4037, 39anbi12d 742 . . . 4 (𝑑 = 1 → ((𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ (1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘))))
4136, 40rexeqbidv 3129 . . 3 (𝑑 = 1 → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘))))
4241rspcev 3281 . 2 ((1 ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 {1})(1 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ {1} (𝑓𝑘))) → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
431, 30, 42sylancr 693 1 (𝑃 ∈ ℙ → ∃𝑑 ∈ ℕ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...𝑑))(𝑑 ≤ 3 ∧ 𝑃 = Σ𝑘 ∈ (1...𝑑)(𝑓𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1976  wrex 2896  {csn 4124  cop 4130   class class class wbr 4577  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7721  cc 9790  cr 9791  1c1 9793  cle 9931  cn 10867  3c3 10918  cz 11210  ...cfz 12152  Σcsu 14210  cprime 15169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211  df-prm 15170
This theorem is referenced by:  nnsum4primesprm  40012  nnsum3primesle9  40015
  Copyright terms: Public domain W3C validator